2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）九年级地方晋级选拔赛模拟试题合集2套（AB卷）附答案

这是一份2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）九年级地方晋级选拔赛模拟试题合集2套（AB卷）附答案，共20页。试卷主要包含了 请将答案写在本卷上， 若计算结果是分数，请化至最简，1cm，参考数据≈2，3 12等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
每位考生将获得一份试卷。考试期间，不得使用计算工具或手机。
本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A卷
（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）
选择题（每小题4分，共40分）
1．用科学记数法可以表示为（ ）
A．8×10-1 B．8×10-2 C．2.3×10-1 D．2.3×10-2
如图，O为线段AB的中点，AB=4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、
2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4

第2题图 第3题图 第4题图
如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，
若 eq \(\s\up6(⌒),AB) =80°， eq \(\s\up6(⌒),BC) =60°，则∠ADC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD=90°，
CO=CD．若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，4） C．（2，2）D．（4，2）
方程组的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若等式（a、b为常数）成立，则a、b的值为（ ）
A．a=4，b=－3 B．a=2，b=－1C．a=－1，b=1 D．a=－1，b=2
小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公
式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ）
A．300 B．405 C．416 D．450
如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE=4，
CE=2，BC=，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD
三次反弹后回到E点，则关于tanα的说法下列正确的是（ ）
A．≤tanα＜B．＜tanα＜C．tanα= D．＜tanα＜3
如图，已知反比例函数y=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直
角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为4+2，AD=2，
则△ACO的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和
直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线ln：y=nx+n－1
和直线ln+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为Sn，记W=S1+S2+…+Sn，当n
越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ）
A． B． C． D．
填空题（每小题5分，共30分）
已知a2－5a－1=0，则5（1+2a）－2a2=___________．
12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O”记号，另外12张卡片作上“X”记号．
右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一
张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O”
的卡片的概率是___________．
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD
的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD=4，则DE的长为_________．

第13题图 第14题图 第16题图
如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动
滚动，直到半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度为 ．
15．正数m，n满足m++4n=3，则的值为 ．
已知正方形ABCD的边长为5，点E在BC边上运动，点G是DE的中点，EG绕点E顺
时针旋转90°得到EF，当CE= 时，点A、C、F在一条直线上．
三、解答题（共5小题，共50分）
17．解不等式：（8分）
如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m
为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）
如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm，参考数据≈2.236）（10分）
如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D
为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C
在OB的延长线上，且BC=12cm．
（1）当PA=45cm时，求PC的长；（5分）
（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的
长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
（5分）


图① 图②
已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．
（1）求此二次函数的表达式；（3分）
（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；（4分）
（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．（6分）
备用图
九年级A卷答案
选择题（每小题4分，共40分）
3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B
5.当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：解得由于y≤0，所以此种情况不成
立；当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：解得当x≥0，y≥0时，
无解；当x≤0，y≤0时，无解；因此只有一组解．
设巧克力和棒棒糖的数量分别为x，y，幸福值为W，根据题意得：3x+2y≤100，W=xy，∴y=，
∴3x+2≤100，∴W≤50x－x2=－（x－）2+，∵x，y为整数，∴x=16，y=26
时，W最大=xy=416．
如图，∵DE=4，CE=2，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后
回到E点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，
∴CF=BC=2，∴在Rt△CEF中，tanα==．
9.在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，∴OB=2AD=4，
由周长为4+2，得到AB+AO=2，设AB=x，则AO=2－x，
根据勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（2－x）2=42， 整理得：x2－2x+2=0，
解得x1=+，x2=－，∴AB=+，OA=－，过D作DE⊥x轴，
交x轴于点E，可得E为AO中点，∴OE=OA=（－）（若OA=+，
求出结果相同），在Rt△DEO中，利用勾股定理得：
DE=（+），∴k=－DE•OE=－（+）×
（－）=－，∴S△AOC=|k|=．
将y=nx+n－1和y=（n+1）x+n联立得：解得：∴无论k取何
值，直线ln和直线ln+1均交于定点（－1，－1），k≠1时，ln与ln+1的图象的示意图如图，
∵y=nx+n－1与x轴的交点为A（，0），y=（n+1）x+n与x轴的交点为B（，
0），∴Sn=S△ABC=×|AB|×|－1|=××1=，
当n=1时，结论同样成立．∴W=S1+S2+S3+…+Sn=
=（1－+－+…+）=
（1－）=．当n越来越大时，越来越接近与1．
∴越来越接近于，∴W越来越接近于．
填空题（每小题5分，共30分）
11.3 12. 13.6 14.5π 15. 16.
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∵CE⊥AD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE=BD=4，AD=CE=10，∴DE=AD－
AE=6．
由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，圆心从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为
圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+
×2π×5=5π．
15.∵m+4+4n=3，∴m+4+4n－2（+2）－3=0，
∴（+2）2－2（+2）－3=0，∴（+2－3）（+2+1）=0，
∴+2=3，+2）=－1（不合题意，舍去），∴原式==．
16.过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC，
∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，
∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴DE:EF=2:1，
∴CE:FN=DE:EF=DC:NE=2:1，∴CE=2NF，NE=CD=．
∵∠ACB=45°，∴当∠NCF=45°时，A、C、F在一条直线上．
则△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴CE=2CN，
∴CE=NE=×=．∴CE=时，A、C、F在一条直线上．
解答题（共5小题，共50分）
17.解：∵y2+1＞0，则原不等式可化为1+＞1－，解得y＞1.2．
18.解：是的．证明如下：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理数，
∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只需p=x－2y，q=x－y即可．
∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a=j2+k2，另一个为b=r2+s2，其中j、k、r、
s为任意给定的有理数，则ab=（j2+k2）（r2+s2）=（jr+ks）2+（js－kr）2是“世博数”．
19.解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，则（40－8x）（30－6x）=×40×30．
整理，得x2－10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），
答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．
解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，则4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=
－4（舍去），∴上、下边衬宽为20－8≈2.1，左、右边衬宽均为15－6≈1.6，
答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．
20.解：（1）如图，当PA=45cm时，连接PO．∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm．
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36cm，PC==27（cm）；
（2）当∠AOC=120°，如图，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，
则四边形DECF是矩形．在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，
∴DE=DO•sin60°=6，EO=DO=6，∴FC=DE=6，DF=EC=EO+OB+BC=
6+24+12=42．在Rt△PDF中，易求得∠PDF=30°，
∴PF=DF•tan30°=42×=14，
∴PC=PF+FC=14+6=20≈34.64＞27，
∴点P在直线PC上的位置上升了．
21.解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x－2）2．∵将（0，1）代入得：4a=1，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x－2）2．
（2）MN的长不发生变化．理由如下：
如图1所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN．
设点C的坐标为（a，）．∵CH⊥MN，∴MH=HN．
∵HN2=CN2－CH2=CB2－CH2，∴HN2=[2－]2+（a－2）2－[]2=4．
∴HN=2．∴MN=4．∴MN不发生变化．
（3）①如图2所示，当点C与点A重合时．∵MN经过点C，∴MN为圆C的直径．∴MC=2．
∵点C（2，0），∴M（0，0）．
②如图3所示，∵△ABM∽△ANB，∴，即AB2=AM•AN．
设AM=a，则4=a（a+4），解得：a1=－2+2，a2=－2－2（舍去），
又∵点A（2，0），∴2+（－2+2）=2．∴点M的坐标为（2，0）．
③如图4所示，∵△ABN∽△AMB，∴AB2=AN•AM．
设AM=a，则4=a（a－4），解得：a1=2+2，a2=2－2（舍去）．
又∵点A（2，0），∴2－（2+2）=－2．∴点M的坐标为（－2，0）．

2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）九年级地方晋级
选拔赛模拟试题（A卷）
考生须知：
每位考生将获得一份试卷。考试期间，不得使用计算工具或手机。
本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛B卷
（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）
选择题（每小题4分，共40分）
将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成
的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位
似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2
倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A′的纵坐标是（ ）
A．3 B．－3 C．－4 D．4

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的
平行线交OM于点B，AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
如图，圆O为△ABC的外接圆，其中点D在弧AC上，且OD⊥AC，若∠A=36°，∠C=
60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．132° B．144° C．156° D．162°
6．已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组
mx＞kx+b＞mx－2的解集是（ ）
A．x＞1 B．0＜x＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2
8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中
点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．

第7题图 第8题图 第9题图
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC
对称，点E与点F关于BD对称，AB=1，则cs∠AGB等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函
数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，
k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，
点C关于x轴的对称点为C′，CC′交x轴于点B，连接AB、AA′、
A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所
围成的图形的面积等于（ ）
A．8 B．10 C．3 D．4
填空题（每小题5分，共30分）
11．若2m=3，4n=8，则2m-2n的值是____________．
12．如图，将边长为2的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正
方形的中心O所经过的路径长为____________．

第12题图 第13题图
如图，抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别
为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为_____________．
m、n是两个连续自然数，且q=mn，p=，则p的值是 ．（填
“奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”）
甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的 ，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的．小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为_____________．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平
分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，
对于下面三个结论：①GH⊥BE；②S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；
③EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为 ．
解答题（共5小题，共50分）
请分别用配方法和因式分解法解方程：6x2+7x－3=0．（8分）
配方法： 因式分解法：
已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．试说明点（a，b），（c，d）和坐标原点O（0，0）在同一条直线上．（9分）
如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．（10分）
如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．
（1）求证：CF=2DH；（4分）
（2）若AB=BC，cs∠BCA=，DE=4，求HD的长．（6分）
在平面直角坐标系中，以D（－4，）为圆心的⊙D与y轴相切于点Q，与x轴交于A、
B两点，其中点B坐标为（－1，0）．以CD为对称轴的抛物线与⊙D交于A、B两点，点C坐标为（－4，9），CD与x轴交于点H．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；（3分）
（2）P为直线AC上方抛物线上一点，当S△APC=S△AHC时，求点P坐标；（4分）
（3）PM⊥AC于点M，PE⊥x轴于点E且与AC交于点N，△PMN的周长为l，求l的最大值．（6分）
九年级B卷答案
选择题（每小题4分，共40分）
1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.B
7.由于直线y1=kx+b过点A（0，2），P（1，m），则有，解得
∴y1=（m－2）x+2．故所求不等式组可化为：mx＞（m－2）x+2＞mx－2，
不等号两边同时减去mx得，0＞－2x+2＞－2，解得：1＜x＜2．
8.设Q是AB的中点，连接DQ，∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=2，O为AC中点，∴AQ=AO，∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD=OE，∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD=QB，∵QB=AB=1，∴QD=，∴线段OE的最小值是为．
9.如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由对称性可得，AB=AE=1，则BE=，
∵点E与点F关于BD对称，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，
AB=AE，∴四边形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，∴tan∠ADB=，
在Rt△OED中，可设OD=x，OE= ，∴（）2=x2+[]2，解得x=
，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，∴cs∠AGB==．
过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，∵点A是函数y=（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，），∵点C在函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△OCB，∴，
∵S△ADO=，S△BOC=，∴k2=，∴k=－，
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=×（－）•b+=6，∴k2－=12，
∴k2+k－12=0，解得：k=3，k=－4（不合题意舍去），
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，∴S△OBC′=S△OBC==， ∵S△OAA′=2S△OAD=1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．

填空题（每小题5分，共30分）
11. 12.π 14.奇数 15. 16.①③
13.∵抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，∴点A、B两点的坐标分别
是（－，0）、（，0）；又∵抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4的顶点分别为C、
D．∴点C、D的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD=8，AB=，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC=AB•OD+AB•OC=AB•CD=×8×=40，
即×8×=40，解得a=0.16．
14.因为m、n是两个连续自然数，设m＜n，则n=m+1，且q=mn，代入得：
p===m+1+m=2m+1；
因为m为自然数，所以2m为偶数，即2m+1为奇数．
设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x个小球，则甲有个红球，丙有个红球，则一
共有+=（个）红球，甲箱内最后共有3x个小球，因此取出红球的概率为
．
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，
∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，
∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，故①正确；
易证得△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HOBG，
设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，
CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab
－b2=0，解得：a=b=（－1+）b，或a=（－1－）b（舍去），则=
－1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF=（－1）2=3－2，故②错误；
∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴，∴，
，∴，故③正确．
因此正确的结论是①③．
解答题（共5小题，共50分）
解：配方法：6x2+7x－3=0，x2+x=，（x+）2=+=，故x+=±，
解得：x1=－，x2=．
因式分解法：6x2+7x－3=0，6x2+9x－2x－3=0，3x（2x+3）－（2x+3）=0，(2x+3)(3x－1)=0，
解得x1=－，x2=．（只写了一种正确方法的得4分）
解：设经过（0，0）和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=，设经过（0，0）和（c，
d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四个数成比例，
∴=，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐
标原点O（0，0）在同一条直线上．
19.证明：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理数，∴“世博数”m=p2+q2
（其中p、q是任意有理数），只须p=x－2y，q=x－y即可．∴对于任意的两个“世博数”
a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，因此有：
==+也是
“世博数”．
（1）证明：取AF的中点M，连接MD，∵AD=DC，∴CF=2MD，且MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH，又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG， ∴∠BHG=∠BFH，
而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，∴∠DMH=∠DHM，∴DH=DM．
而CF=2MD，∴CF=2DH；
（2）解：过E作EN⊥BC于N，∵AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，
EN⊥BC，∴EN=DE=4，在Rt△CEN中，cs∠BCA=，∴设CN=3k，则CE=5k，
得EN=4k=4．∴k=1，CE=5，CD=9，在Rt△BCD中，
cs∠BCA=，∴BC=15，BD=12，
又∵∠BHG=∠BFH，∴BH=BF，设DH=x，则FC=2x，
BH=12－x，BF=15－2x．由12－x=15－2x，得x=3，∴HD=3．
21.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+9．∵将B（－1，0）代入得：9a+9=0，解得；
a=－1，∴解析式为y=－（x+4）2+9，即y=－x2－8x－7．∵点A与点B关于x=－4对称，
B（－1，0）∴A（－7，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b．∵将A（－7，0）、C（－
4，9）代入得：解得：k=3，b=21，∴直线AC的解析式为y=3x+21．
（2）∵AH=3，CH=9，∴S△AHC=．∵S△APC=S△AHC，∴S△APC==3．
设p（a，－a2－8a－7），N（a，3a+21）．则PN=－a2－8a－7－（3a+21）=－a2－11a
－28．连PA、PC，则S△APC=PN•AE+PN•EH=PN•AH=3，∴×（－a2－11a－28）
×3=3，解得a1=－5，a2=－6．∴点P（－5，8）或（－6，5）．
（3）∵由（2）可知PN=－a2－11a－28=－（a+）2+．∴PN的最大值为．
∵EN∥CH，∴∠ACH=∠ANE．∵∠PNM=∠ENA，∴∠PNM=∠ACH．又∵∠PMN=
∠AHC=90°，∴△PMN∽△AHC．∴PM：MN：PN=HA：CH：CA=1：3：．
∴l=PN×．