2025年四川省泸州市中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年四川省泸州市中考数学一模试卷附答案，共18页。
A．B．
C．D．
2．（3分）方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝±3
3．（3分）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝27°，则∠BOC的度数是（ ）
A．18°B．27°C．45°D．72°
4．（3分）点A（﹣1，a）与点A′（b，2）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2024D．2024
5．（3分）关于x的方程ax2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−98B．a≥−98且a≠0
C．a＞−98D．a＞−98且a≠0
6．（3分）若某种商品经过两次涨价后的价格为涨价前的121%，则该商品平均每次涨价（ ）
A．9.5%B．10%C．19%D．20%
7．（3分）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或13B．13或21C．17D．13
8．（3分）四边形ABCD的两条对角线相交于点O，下列条件中，不一定能推得△AOB与△COD相似的是（ ）
A．∠DAC＝∠DBCB．∠BAC＝∠ACDC．OAOD=OBOCD．OAOC=ODOB
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（ ）cm．
A．5B．4C．3D．2
10．（3分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．25B．8C．50D．10
11．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
12．（3分）无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−32B．a≤−32或a＞0
C．a≥−23D．a≤−23或a＞0
13．（3分）现有5张卡，正面图案标有“神舟十四”，“5G基站建设”，“工业互联网”，“大数据”，“人工智能”，它们除此之外完全相同，把这5张卡，背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则刚好抽到卡片正面图案恰好是“人工智能”的概率是 ．
14．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22= ．
15．（3分）已知一个圆锥形零件的高线长为4，底面半径为3，则这个圆锥形的零件的侧面积为 ．
16．（3分）如图，点O是△ABC的内心，D是BC的中点，连接OC、OD，若∠A＝2∠O＝120°，OD＝1，则BC的长为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）解方程：x2﹣6x﹣9＝0
18．（6分）已知二次函数y=−12x2+3x−52，完成以下问题：
（1）将函数配方成顶点式并写出函数图象的对称轴方程．
（2）求出函数图象与x轴的交点坐标．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF．
（1）求证：C是BD的中点；
（2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为 ．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）如图，点O，B的坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．
（1）在平面直角坐标系中画出△OA′B′；
（2）点A′的坐标为 ；
（3）求在旋转过程中，点B所经过的路径BB′的长度．
21．（7分）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图．
根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第 小组；
（2）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
（3）如测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分，在这个样本中，从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？
23．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价为20元时，每天的销售量是200件；销售单价30元时，每天的销售量为100件．其中每天的销售量是售价的一次函数．
（1）求这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
（3）若商店想要每天获利2000元，售价应定为多少元？
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+3与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差；
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA、DB、DC、BC，设△DAB的面积为S1，△DBC的面积为S2，求S1+S2的最大值，并求出点D的坐标．
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上．
1．【答案】A
【解答】解：A、图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；
B、图形既是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝45°，
∵∠AOB＝21°，
∴∠BOC＝45°﹣27°＝18°，
故选：A．
4．【答案】B
【解答】解：∵点A（﹣1，a）与点A′（b，2）关于原点对称，
∴b＝1，a＝﹣2，
则（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝1．
故选：B．
5．【答案】A
【解答】解：当a＝0时，方程化为3x﹣2＝0，
解得x=23，
当a≠0时，Δ＝32﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥−98，
综上所述，a的取值范围为a≥−98．
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：设平均每次涨价为x，
则由题意可知，
（1+x）2＝121%，
1+x＝±1.1，
解得x＝0.1（负值舍去），
即该商品平均每次涨价为10%．
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17．
故选：C．
8．【答案】D
【解答】解：A．∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠BOC＝∠AOD，
∴△AOD∽△BOC，
∴AOBO=ODOC，
∴AOOD=BOOC，
又∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，故选项A不符合题意；
B．∵∠ACD＝∠BAC，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，故选项B不符合题意；
C．∵∠COD＝∠AOB，OAOD=OBOC，
∴△AOB∽△COD，故选项C不符合题意；
D．条件∠AOB＝∠COD，OAOC=ODOB，无法证明△AOB∽△COD，故选项D符合题意．
故选：D．
9．【答案】D
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴OB＝OC＝5cm，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE＝4cm，
在Rt△OCE中，OC＝5cm，
∴OE=52−42=3(cm)，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）．
故选：D．
10．【答案】A
【解答】解：∵x2﹣12x+32＝0，
∴（x﹣4）（x﹣8）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝4，x2＝8，
∵菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，
∴菱形两条对角线的长度是4或8，两条对角线互相垂直，
∴菱形的边长为22+42=25，
故选：A．
11．【答案】D
【解答】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，如图，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，
设BE＝a，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴AD＝AF＝6﹣a，CF＝CE＝7﹣a，
∵AF+CF＝AC＝5，
∴6﹣a+7﹣a＝5，
解得：a＝4，
∴BE＝BD＝4．
∴AF＝AD＝2，CF＝CE＝3，
设⊙O的半径为r，
由海伦公式得：S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=a+b+c2，
由三角形内切圆可知：S△ABC=12C△ABC•r，
∴S△ABC＝p•r，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴p=12（6+5+7）＝9，
∴S△ABC=9×(9−6)×(9−5)×(9−7)=66，
∴r=Sp=669=263，
∴OE=263，
∴OB=OE2+BE2=(263)2+42=2423，
∵BE＝BD，OE＝OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH＝EH，OB⊥DE，
∵12HE•OB=12OE•BE，
∴HE×2423=263×4，
∴HE=477，
∴DE＝2EH=877．
故选：D．
12．【答案】D
【解答】解：联立方程组：y=kx−2k+2y=ax2−2ax−3a，
整理得：ax2﹣（2a+k）x﹣3a+2k﹣2＝0，
∵无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，
∴Δ＝（2a+k）2﹣4a（2k﹣3a﹣2）＝（2a﹣k）2+12a2+8a≥0，
∴12a2+8a≥0，
当a＞0时，12a+8＞0总成立
∴a＞0；
当a＜0时，12a+8≥0，
解得：a≤−23，
∴a的取值范围是a≤−23或a＞0．
故选：D．
13．【答案】15．
【解答】解：∵共5张卡片，其中一张标有“人工智能”，
∴从中随机抽取一张，则刚好抽到卡片正面图案恰好是“人工智能”的概率是15，
故答案为：15．
14．【答案】23．
【解答】解：∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2＝23．
故答案为：23．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵高线长为4，底面半径为3，
∴母线长为：42+32=5，
∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×5×3＝15π，
故答案为：15π．
16．【答案】213．
【解答】解：连接OB，延长OD到E，使DE＝OD＝1，连接CE，如图所示：
则OE＝2OD＝2，
在△ABC中，∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝60°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝30°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝150°，
∵2∠DOC＝120°，
∴∠DOC＝60°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，BC＝2CD，
在△CED和△BOD中，
DE=OD∠CDE=∠BDOCD=BD，
∴△CED≌△BOD（SAS），
∴∠E＝∠BOD＝90°，
∴△OCE是直角三角形，
在Rt△OCE中，∠OCE＝90°﹣∠DOC＝30°，
∴OC＝2OE＝4，
由勾股定理得：CE=OC2−OE2=42−22=23，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD=CE2+DE2=(23)2+12=13，
∴BC＝2CD=213．
故答案为：213．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣6x＝9，
x2﹣6x+9＝18，
（x﹣3）2＝18，
x﹣3＝±32，
所以x1＝3+32，x2＝3﹣32．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y=−12x2+3x−52=−12（x2﹣6x+9）+92−52=−12（x﹣3）2+2，
函数的对称轴为：x＝3；
（2）y=−12x2+3x−52，令y＝0，解得：x＝1或5，
故图象与x轴的交点坐标为：（1，0）、（5，0）．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBE＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠CBE＝90°，
∴∠CAB＝∠ECB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠ECB，
又∵CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠CDB＝∠FBC，
∴CD=BC，
∴C是BD的中点；
（2）由（1）知C是BD的中点，
∴BC＝CD＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=82+42=45，
∴⊙O的半径为25，
故答案为：25．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．【答案】（1）详见解析；
（2）（﹣2，4）；
（3）BB′的长为32π．
【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求；
（2）由图可知，点A′的坐标为：（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）；
（3）在旋转过程中，点B所经过的路径BB′的长=90π×3180=32π．
21．【答案】（1）y=−112(x−3)2+3；
（2）球能射进球门．
【解答】解：（1）∵9﹣6＝3（米），由题意可得：
设抛物线y＝a（x﹣3）2+3，把点A（9，0）代入得：
36a+3＝0，
解得a=−112，
∴y=−112(x−3)2+3；
（2）当x＝0时，y=−112(x−3)2+3=−112×(0−3)2+3=94＜2.4，
∴球能射进球门．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）总人数是：10÷20%＝50（人），
第四组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4＝10，
，
中位数位于第三组；
（2）该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：50−4−10−1650×260＝104（人）；
（3）成绩是优秀的人数是：10+6+4＝20（人），
成绩为满分的人数是4，则从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是420=0.2．
23．【答案】（1）y＝﹣10x+400；
（2）25元；
（3）20或30元．
【解答】解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b，将（20，200），（30，100）代入得：
20k+b=20030k+b=100，
解得：k＝﹣10，b＝400，
∴所求函数关系式为y＝﹣10x+400；
（2）设销售利润为W，根据题意得：
W＝y（x﹣10）＝（﹣10x+400）（x﹣10）＝﹣10x2+500x﹣4000
＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∴当x＝25时，W有最大值2250，
∴销售单价为25元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）∵商店想要每天获利2000，根据题意可得：
﹣10x2+500x﹣4000＝2000，
∴x2﹣50x+600＝0，
解得：x＝20或30．
∴商店想要每天获利2000，售价应定为20或30元．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2455．
【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE=12（∠OCE+∠OEC+∠AOC）=12×180°=90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB=OA2+OB2=202+152=25，
∵12OA⋅OB=12AB⋅OC，
即12×20×15=12×25×OC，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴AEAO=EHOC，
即820=EH12，
∴EH=245，
∵BC=OB2−OC2=152−122=9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH=AE2−EH2=82−(245)2=325，
∴CH＝AC﹣AH＝16−325=485，
∴CE=EH2+CH2=(245)2+(485)2=2455．
25．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）4；
（3）S1+S2的最大值为254，点D（−52，74）．
【解答】解：（1）直线y＝kx+3与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，则点B（0，3），
由题意得：9a−3b+c=0a+b+c=0c=3，解得：a=−1b=−2c=3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，
当﹣2≤x≤1时，
当x＝﹣1时，y取得最大值为4，
当x＝1时，y取得最小值为0，
故y的最大值与最小值的差为4﹣0＝4；
（3）由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+3，
过点D作DE∥y轴交AB于点E，
设点D（m，﹣m2﹣2m+3），则点E（m，m+3），
S1+S2＝S△DAB+（S△ADB+S△ABC﹣S△ADC）＝2S△ABD+S△ABC﹣S△ADC
＝DE×OA+12×AC×OB−12×AC×yD＝（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）×3+12×4×3−12×4×（﹣m2﹣2m+3）
＝﹣（m+2.5）2+254≤254，
则S1+S2的最大值为254，此时m＝﹣2.5，点D（−52，74）．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
A
B
A
B
C
D
D
A
D
题号
12
答案
D