2025年上海市嘉定区中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年上海市嘉定区中考数学一模试卷附答案，共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．y＝（x﹣5）2﹣x2
C．y＝x2+1D．y=2x2
2．（4分）抛物线y＝x2+x一定经过点（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（2，4）D．（﹣2，﹣4）
3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形
B．有一个内角为40°的两个直角三角形
C．两个等腰三角形
D．有一个内角是40°的两个等腰三角形
4．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果对角线AC⊥AB，那么CDAC的值是（ ）
A．sinBB．csBC．tanBD．ctB
5．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．如果|a→|=|b→|，那么a→=b→
B．如果a→和b→都是单位向量，那么a→=b→
C．a→+(−a→)=0
D．如果a→=kb→(k≠0)，那么a→∥b→
6．（4分）如图，两条不平行的直线l1与直线l2相交于点O，四条平行线分别交直线l1于点A、B、C、D，分别交直线l2于点A1、B1、C1、D1，则有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列结果中，线段之差最大的是（ ）
A．BD﹣ABB．OC﹣OAC．OC﹣CDD．CD﹣OB
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）已知xy=34，那么x−yy= ．
8．（4分）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是 ．
9．（4分）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ．
10．（4分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数y＝﹣x2+2x+1的图象上，如果x1＞x2＞1，那么y1 y2．（填“＞”、“＝“、“＜”）
11．（4分）已知某二次函数一部分自变量x和函数值y的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图象的对称轴是直线 ．
12．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果S△AOD：S△AOB＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，EC＝2AE，联结DE，如果AB→=a→，AC→=b→，那么DE→= ．（用含向量a→、b→的式子表示）
14．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2，那么sin∠BAC的值是 ．
15．（4分）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是 厘米．
16．（4分）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：43，则至少需要红地毯 m．
17．（4分）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝10，点E、F分别在边AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黄金分割线”，那么EF＝ ．
18．（4分）如图，将一块含30°角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心G逆时针旋转180°．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：sin245°−2cs60°ct30°−tan45°．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−13x2+bx+c的顶点为D．
（1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：
①它与y轴交点的坐标是（0，﹣1）；②顶点D的坐标为(1，43)．
你选择的条件是 （填写编号），并求b、c的值．
（2）由（1）确定的抛物线与x轴正半轴交于点A，求tan∠DAO的值．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BD＝12，CD＝15，且∠BAD＝∠C．
（1）求线段AB的长；
（2）当∠ADE＝∠C，∠B＝60°时，求△EDC的面积．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AB的中点，联结CE，作AF⊥CE，垂足为点F，联结BF．
（1）求证：△EFB∽△EBC；
（2）取BC边的中点D，联结DF，求证：DFEF=2．
23．（10分）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点（2，3）和点（﹣4，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图，该抛物线上有三个点A、B、C，AB∥x轴，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB与抛物线的对称轴交于点M．（点A在对称轴的左侧）
①如果点C到抛物线对称轴的距离为t，请用含t的代数式表示点B的横坐标；
②求点C的横坐标．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，点D在AB边上（不与点A重合），点E是边AC上的点，且满足CD＝CE，设k＝tanB．
（1）求证：∠CDE＝∠BCD+45°；
（2）如图2，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，求证：DE=2（CH﹣DH）；
（3）设点F是CD的中点，联结EF并延长交边BC于点G，当△CFG与△BCD相似时，求k的值．
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．【答案】C
【解答】解：y＝ax2+bx+c中当a＝0时，它不是二次函数，则A不符合题意；
y＝（x﹣5）2﹣x2＝﹣10x+25，则B不符合题意；
y＝x2+1符合二次函数的定义，则C符合题意；
y=2x2不符合二次函数的定义，则D不符合题意；
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：A、当x＝1时，y＝2，故点（1，0）不在抛物线y＝x2+x上，不符合题意；
B、当x＝﹣1时，y＝0，故点（﹣1，0）在抛物线y＝x2+x上，符合题意；
C、当x＝2时，y＝6，故点（2，4）不在抛物线y＝x2+x上，不符合题意；
D、当x＝﹣2时，y＝2，故点（﹣2，﹣4）不在抛物线y＝x2+x上，不符合题意；
故选：B．
3．【答案】B
【解答】解：A、两个直角三角形不一定相似，故选项A不符合题意；
B、有一个内角为40°的两个直角三角形相似，故选项B符合题意；
C、两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意；
D、有一个内角是40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．【答案】B
【解答】解：∵直角梯形ABCD，
∴∠D＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴△ADC∽△CAB，
∴CDAC=ABCB=csB，
故选：B．
5．【答案】D
【解答】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A不符合题意；
B、两单位向量的方向可能不同，故B不符合题意；
C、a→+（−a→）=0→，故C不符合题意；
D、命题正确，故D符合题意．
故选：D．
6．【答案】D
【解答】解：由题知，
∵AA1∥BB1，A1O＝3，OB1＝2，
∴OAOB=OA1OB1=32，
则令OA＝3k，OB＝2k．
同理可得，BC＝2k，CD＝4k，
∴BD﹣AB＝k，OC﹣OA＝k，OC﹣CD＝0，CD﹣OB＝2k，
显然2k为差值最大的一个．
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．【答案】−14．
【解答】解：∵xy=34，
∴x−yy=3−44=−14．
故答案为：−14．
8．【答案】a＞2．
【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1开口向下，
∴2﹣a＜0，
解得a＞2，
故答案为：a＞2．
9．【答案】（4，0）．
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向右平移3个单位得到y＝﹣（x﹣1﹣3）2＝﹣（x﹣4）2，顶点坐标（4，0）．
故答案为：（4，0）．
10．【答案】＜．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＜y2；
故答案为：＜．
11．【答案】x＝﹣1．
【解答】解：当x＝﹣4和x＝2时，函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线x=−4+22=−1．
故答案为：x＝﹣1．
12．【答案】4：9．
【解答】解：设点A到BD的距离为h，
∵S△AOD：S△AOB＝2：3，
∴12OD⋅ℎ12OB⋅ℎ=23，
∴ODOB=23，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴S△AODS△BOC=(ODOB)2=(23)2=49，
即S△AOD：S△BOC＝4：9，
故答案为：4：9．
13．【答案】13b→−13a→．
【解答】解：∵BD＝2AD，EC＝2AE，
∴ADDB=AEEC=12，
∴DE∥BC，
∴DEBC=ADAB=13，
∴BC→=BA→+AC→=−a→+b→，
∴DE→=13b→−13a→．
故答案为：13b→−13a→．
14．【答案】429．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CK⊥AB于点K．
∵AB：BC＝3：2，
∴可以假设AB＝AC＝3k，BC＝2k，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝k，
∴AH=AB2−BH2=(3k)2−k2=22k，
∵CK⊥AB，
∴12•BC•AH=12•AB•CK，
∴CK=2k×22k3k=423k，
∴sin∠BAC=CKAC=423k3k=429．
故答案为：429．
15．【答案】18．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴OGOH=ABCD，
∴100120=15CD，
∴CD＝18，
答：CD的长度是18厘米，
故答案为：18．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：43，
∴BC＝6×43=8m，
故可得地毯的长度＝AB+BC＝6+8＝14m．
故答案为：14．
17．【答案】4+25．
【解答】解：如图所示，连接AF并延长，与BC的延长线交于点H，
由题知，
∵点F是线段CD的黄金分割点，且DF＞CF，
∴CFDF=5−12．
∵AD∥BC，
∴△CFH∽△DFA，
∴CHDA=CFDF．
又∵AD＝6，
∴CH=35−3．
又∵BC＝10，
∴BH＝BC+CH=35+7．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABH，
∴EFBH=AEAB．
∵点E是线段AB的黄金分割点，且AE＞BE，
∴AEAB=5−12，
∴EF=5−12×(35+7)=4+25．
故答案为：4+25．
18．【答案】123．
【解答】解：如图，∠BAC＝90°．∠B＝30°，BC＝12cm，
∴AC=12BC=6cm，AB=3AC=63cm，
∴S△ABC=12×6×63=183cm2，
∵G为重心，
∴AG：GN＝2：1，
∵△ABC绕点G旋转180度，
∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，A′C′∥AC，AG＝A′G，MG＝NG，
∴AM：MG：GM＝1：1：1，
∴AM：AN＝1：3，
∵BC∥B′C′，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=AM2：AN2=1：9，
∴S△ADE=19S△ABC=23cm2，
同理：S△CGH=S△BKP=19S△ABC=23cm2，
∴重叠部分的面积为：S△ABC−S△CGH−S△BKP−S△ADE=183−3×23=123cm2，
故答案为：123．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．【答案】−32．
【解答】解：原式＝（22）2−2×123−1
=12−3+12
=−32．
20．【答案】（1）②，b=23，c＝1．
（2）23．
【解答】解：（1）选择的条件是②．
∵顶点D的坐标为(1，43)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b2×(−13)=1，
解得b=23，
∴y=−13x2+23x+c．
将(1，43)代入y=−13x2+23x+c，
得−13+23+c=43，
解得c＝1．
故答案为：②．
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y=−13x2+23x+1．
如图，
设抛物线的对称轴与x轴交于点B，
则B（1，0）．
∵顶点D的坐标为(1，43)，
∴BD=43．
令−13x2+23x+1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（3，0），
∴AB＝2，
∴tan∠DAO=BDAB=23．
21．【答案】（1）证明见解答；
（2）△EDC的面积是7532．
【解答】解：（1）∵BD＝12，CD＝15，
∴CB＝BD+CD＝12+15＝27，
∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△DBA∽△ABC，
∴ABCB=BDAB，
∴AB=BD⋅CB=12×27=18，
∴线段AB的长为18．
（2）作EF⊥CD于点F，则∠DFE＝90°，
∵∠BAD＝∠C，∠ADE＝∠C，∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴ED∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∠EDF＝∠B＝60°，
∴EDAB=CDCB=1527=59，∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴ED=59AB=59×18＝10，
∵DF=12ED＝5，
∴EF=ED2−DF2=102−52=53，
∴S△EDC=12CD•EF=12×15×53=7532，
∴△EDC的面积是7532．
22．【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E是边AB的中点，AF⊥CE于点F，
∴∠EFA＝∠EAC＝90°，EA＝EB，
∴∠FEA＝∠AEC，
∴△FEA∽△AEC，
∴EFEA=EAEC，
∴EFEB=EBEC，
∵∠FEB＝∠BEC，
∴△EFB∽△EBC．
（2）取BC边的中点D，联结DF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠EBC＝∠ACB＝45°，
∵△EFB∽△EBC，
∴∠EFB＝∠EBC＝45°，∠EBF＝∠DCF，
联结AD交CF于点H，联结ED，
∵点E是AB的中点，点D是BC的中点，
∴BE=12AB，DE=12AC，DE∥AC，AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB=12∠BAC＝45°，
∴BE＝DE，∠BED＝∠BAC＝90°，
∴CD＝BD=BE2+DE2=2BE，
∵∠CDH＝∠AFH＝90°，∠CHD＝∠AHF，
∴△CHD∽△AHF，
∴DHFH=CHAH，
∴DHCH=FHAH，
∵∠FHD＝∠AHC，
∴△FHD∽△AHC，
∴∠DFC＝∠DAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFB，
∵∠DCF＝∠EBF，
∴△DCF∽△EBF，
∴DFEF=CDBE=2．
23．【答案】（1）点N到直线MM的距离为m•csα；
（2）MN的长度为60．
【解答】解：（1）作NH⊥MM′于点H，
∴∠H＝90°，
∵MN⊥l1，
∴∠PMN＝90°，
∵∠M′MP＝α，
∴∠NMH＝90°﹣α，
∴∠MNH＝α，
∵MN＝m，
∴HN＝m•csα；
（2）作N′C⊥MM′于点C，
∴∠N′CM′＝∠N′CO＝90°，
由题意得：M′N′∥MP，
∴∠N′M′C＝α，
∵M′N′＝5，
∴N′C＝5×sinα≈4，M′C＝5×csα≈3，
设MN为x，则HN＝0.6x，MH＝0.8x，
∵OM′＝23，
∴OC＝23﹣3＝20，
∵∠H＝∠N′CO＝90°，∠CON′＝∠HON，
∴△OCN′∽△OHN，
∴N′CHN=OCOH，
∴40.6x=20132+0.8x，
解得：x＝60，
∴MN的长度为60．
24．【答案】（1）该抛物线的表达式为y=12x2+x−1．
（2）①点B的横坐标为2t﹣1．
②点C的横坐标为23−33．
【解答】解：（1）对称轴为直线x=−b2a=2−42=−1，
∴b＝2a，故而y＝ax2+bx﹣1＝ax2+2ax﹣1，
再代入（2，3）得a=12，
故该抛物线的表达式为y=12x2+x−1．
（2）①连接MC，如图1所示：
由M为AB中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，由斜边中线定理知CM＝BM，进而△BMC为等边三角形．
作CD⊥直线x＝﹣1于点D，则∠BMC＝∠MCD＝60°，
∴MC=tcs60°=2t，
则BM＝MC＝2t，
故点B的横坐标为2t﹣1．
②∵点B的横坐标为2t﹣1，则点B的纵坐标为2t2−32，
点C的横坐标为t﹣1，点C纵坐标为12t2−32，
∵tan∠DCM＝tan60°=MDCD=yB−yCt=32t2t=32t=3，
解得：t=233，
故点C的横坐标为23−33．
25．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）2+3或2．
【解答】（1）证明：设∠BCD＝α，
∴∠B＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝90°﹣α，
∴∠ECD＝90°﹣2α，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE+∠CED+∠ECD＝180°，
∴∠CDE＝45°+α，
∴∠CDE＝∠BCD+45°；
（2）证明：过点E作EM⊥BC于点M，过D作DN⊥EM 于点N，
则四边形DHMN为矩形，△EMC为Rt△，
∵DM∥BC，
∴∠NDC＝∠BCD＝α，
∴∠EDN＝∠DEN＝45°，
∴DE=2EN，∠CEM＝α，
在Rt△CDH和 Rt△CEM中，
∵∠CHD＝∠CME＝90°，∠DCH＝∠CEM＝α，CD＝CE，
∴△CDH≌△CEM（AAS），
∴EM＝CH，
∴CH﹣DH＝EM﹣DH＝EM﹣NM＝EN，
∵DE=2EN，
∴DE=2(CH−DH)；
（3）解：∵△CFG与△BCD相似，
∴①当∠CFG＝∠BDC＝90°时，
∵点F是CD的中点，
∴由三线合一，得 ED＝EC，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠EDC＝60°，
即∠BCD＝15°，∠CBD＝75°，
∴∠EGC＝∠C＝75°，
设FC＝FD＝m，则CD＝CE＝2m，
∴在Rt△CEF中，EF=3m，
∵EF⊥CD，BD⊥CD，
∴EF∥BD，
∴∠EGC＝∠CBD＝∠ECG，
∴EG＝EC＝2m，
∴FG＝（2−3）m，
∴k＝tanB=FCFG=12−3=2+3；
②当∠CGF＝∠BDC＝90°时，
则∠CFG＝∠B＝∠ECG，
又∵∠CGF＝∠CGE，
∴△CGF∽△CGE，
∴EGCG=CECF，
又∵CECF=CE12CE=2，∠B＝∠ECG，
∴k的值为2+3或2．
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﹣4
﹣2
1
2
4
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y
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11
﹣5
1
11
43
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阅读概述
激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理
被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型
如图，直线M′N′∥直线l1∥直线l2，直线MN垂直于l1和l2，垂足分别为M和N，线段MM′与线段NN′交于点O，∠M′MP＝α．
探究（1）
设MN＝m，请用含m和α的式子表示点N到直线MM的距离．
探究（2）
已知M′N′＝5，OM′＝23，OM＝132，求MN的长度．（结果精确到个位，sinα≈0.8，csα≈0.6，ctα≈0.75）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
B
B
D
D