湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期开学摸底考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期开学摸底考数学检测试题合集2套（附解析），共39页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数（ ）
A．B．C．D．i
3．已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是8B．函数的最小值是8
C．函数的最大值是D．函数的最小值是
4．在中，点D是AB的中点，.设，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，角与角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
10．在中，设角所对的边分别为a,b,c，则下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，，，则有唯一解
C．若是锐角三角形，，，设的面积为S，则
D．若是锐角三角形，则
11．如图，在棱长为5的正方体中，M是侧面上的一个动点，点P为线段上，且，则以下命题正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是
B．保持PM与垂直时，点M的轨迹长度为
C．若保持，则的轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面为等腰梯形
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，是两个不同的平面，l是直线且，则“”是“”的 .条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).
13．已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 .
14．已知，，记，，有下面四个结论：
①若，则的最大值为；
②若，则的最小值为；
③若，则的最大值为1；
④若，则的最大值为．
则错误结论的序号是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．平面内给定两个向量.
(1)求；
(2)求.
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
(1)求角的大小；
(2)求的面积．
17．如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求四棱锥的体积；
(3)在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
18．象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋､国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲､乙､丙､丁4名同学所在小组的赛程如表：
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲､乙､丙3名同学水平相当，彼此间胜､负､平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜､负､平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙､丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
19．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
(3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】利用交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，故A正确.
故选：A
2．【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．
【详解】，
所以复数的实部为，虚部为，
因为实部和虚部互为相反数，所以，
解得.
故选：B.
3．【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得的最小值判断BD；由对勾函数的单调性可知无最大值判断AC.
【详解】函数，又，
所以，所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为8，故B正确，D错误；
由，知时，，所以，
故无最大值，故AC错误.
故选：B.
4．【答案】A
【详解】由题意，点D是AB的中点，，可得，，
则
，
故选：A
5．【答案】D
【分析】由终边角的特性得到，再结合两角和的余弦展开式和余弦二倍角公式求解即可；
【详解】因为角与角始边与轴的正半轴重合，终边构成一条直线，
所以
所以，
又，
所以，
故选：D.
6．【答案】B
【分析】由和得三棱锥体积达到最大值时平面，进而由锥体体积最大值结合体积公式即可求出，从而由球的表面积公式得解.
【详解】设球的半径为R，则由题，
因为，所以三棱锥体积达到最大值时，平面，
所以，故，
所以球的表面积为.
故选：B.
7．【答案】C
【分析】根据题意可得周期为，根据周期公式可得.将不等式恒成立的范围化为的解集的子集，即可构造不等式求得结果.
【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，，
由得：，，
即，
所以，
，，
即，，解得：.
故选：C.
8．【答案】D
【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得f3=0，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得y=fx在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由f3=0，的周期为6，及函数的单调性分析判断.
【详解】①：对于任意，都有成立，
令，则，解得，
又因为是R上的偶函数，所以f3=0，
所以，所以函数的周期为6，
所以，
又由，故；故①正确；
②：由（1）知的周期为6，
又因为是R上的偶函数，所以，
而的周期为6，所以，，
所以：，
所以直线是函数y=fx的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当，且时，都有．
所以函数y=fx在上为严格增函数，
因为是R上的偶函数，所以函数y=fx在上为严格减函数，
而的周期为6，所以函数y=fx在上为严格减函数．故③正确；
④：f3=0，的周期为6，所以，
又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点，
所以在和上各有一个零点，
所以函数y=fx在上有四个零点．故④正确；
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出f3=0，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.
9．【答案】BCD
【分析】对于A：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；
对于B：根据众数的定义进行判断；
对于C：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；
对于D：直接利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断.
【详解】对于A：从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；
对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；
对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；
对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确；
故选：BCD
10．【答案】BCD
【分析】由余弦定理可判断；
由正弦定理可判断；
利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断；
由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断.
【详解】，
，
，
为锐角，但不能确定角是否为锐角，
故不一定是锐角三角形，故错误；
由正弦定理得，
，
，
有唯一解，故正确；
，
，，
，
又，解得，
，，
，
，
，即，故正确；
是锐角三角形，，
又，
，，
又在上单调递增，
，，
，故正确；
故选：.
11．【答案】BD
【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D．
【详解】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形，
连接，则，故A错误；
对于B，如图：
平面，平面，，又，，，平面，
平面，平面,，
同理可得，，，平面．
平面．
所以过点作交交于，过作交交于，
由，可得，平面，平面，
平面，同理可得平面，
平面，
则平面平面．
设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，
由点在棱上，且，可得，
连接，则，所以，又，所以，
所以，故B正确；
对于C，如图：
若，则在以为球心，为半径的球面上，
过点作平面，则，此时．
所以点在以为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为．
点的运动轨迹长度，故C错误；
对于D，如图：
延长，交于点，连接交于，连接，
所以平面被正方体截得的截面为．
，，
，，
所以，，且，
所以截面为梯形，
，截面为等腰梯形，故D正确．
故选：BD．
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
12．【答案】充分不必要
【详解】
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得.若，直线则直线，或直线，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.由，直线得不到，故可得出结论..
【详解】
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
因为直线且
所以由判断定理得.
所以直线，且
若，直线则直线，或直线，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【点睛】
本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题.
13．【答案】
【分析】由题意可知在上单调递减，令，则由复合函数单调性可知二次函数在上单调递减，由此列不等式组即可求解.
【详解】由题意可知，在上单调递减，
令，则在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得，
故答案为：
14．【答案】①②
【分析】把变形成，利用常数t值并借助“1”的妙用求解，再按t的不同取值计算即可判断；用常数t表示出xy的取值范围，然后将n变形成用xy表示，再借助函数、均值不等式求解计算并判断作答.
【详解】依题意，，则
，当且仅当时取“=”，
对于①，时，有，①不正确；
对于③，时，有，③正确；
令，当且仅当时取“=”，即，，
则
对于②，时，，
，而，
由对勾函数知对是递增的，对是递减的，
则时，，无最小值，即②不正确；
对于④，时，，
，而，
，当且仅当，，即时取“=”，
则有时，，即④正确，
所以错误结论的序号是①②.
故答案为：①②
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出、和，接着由向量夹角余弦公式即可得解.
（2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解.
【详解】（1）由题，，
所以.
（2）由题得，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
即，即，
显然，所以，又，所以；
（2）由余弦定理，即，
又，所以，
解得，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴；
（2）如图所示，取的中点，连接，则，且，
∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，
∴；
（3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接，
∵平面，平面平面，
∴，∴在中，，
∵，∴，
∴，即，
∴在棱上存在一点P，且，使得平面.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.
【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则，
即丁同学的总分为5分的概率为.
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，
此时的概率.
综上，甲同学能获得奖励的概率.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析，这个常数为；
(3)或
【分析】
（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解；
（3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解.
【详解】
(1)
解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”；
(2)
证明：当集合时，
集合相对于常数的“余弦方差”，
此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
(3)
解：当集合，，时，
集合相对于任何常数的“余弦方差”，
要使上式对任何常数是一个常数，则且，
所以，所以，
又，，解得或．
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期开学摸底考数学检测试题（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则( )
A. B.
C. D.
2.圆的圆心到直线的距离为
A. B. 2C. 3D.
3.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
4.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
5.如图，已知正方体的棱长为1， E为 CD的中点，则点到平面的距离等于
A. B. C. D.
6.当点到直线l：为任意实数的距离取最大值时，则
A. B. C. D.
7.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知圆C：的圆心为点C，直线l：与圆C交于M，N两点，点A在圆C上，且，若，则
A. 1B. 2C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下面三条直线：，：，：不能构成三角形，则实数m的取值可以是
A. B. C. D. 4
10.已知圆O：，则
A. 圆O与直线必有两个交点
B. 圆O上存在4个点到直线l：的距离都等于1
C. 若圆O与圆恰有三条公切线，则
D. 已知动点P在直线上，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则的最小值为8
11.已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. B. 平面
C. AM与所成角的余弦值为D. 动点P的轨迹长为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知，方程表示圆，则__________.
13.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为在满足条件①，②的所有圆中，圆心到直线l：的距离最小的圆的方程为____________________.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题12分
正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在侧棱上存在一点N，使得，则________.
15.本小题12分
在平面直角坐标系xOy中，圆C：，直线l：
若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；
若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值．
16.本小题12分
已知平面直角坐标系中三点，，
求直线AB的斜率和倾斜角；
若点A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
若点是线段AC上一动点，求的取值范围．
17.本小题12分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点
求证：平面EDB；
求证：平面EFD；
求平面CPB与平面PBD 的 夹角的大小.
18.本小题12分
如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，
当时，求三棱柱的体积;
设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19.本小题12分
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
求点P的轨迹的方程；
过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上．
过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线OP，CQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
又，，
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根据圆的一般方程求圆心以及点到直线距离，属于基础题.
求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【解答】
解：由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键，属于中档题．
根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：圆的标准方程为M：，
则圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
圆M：截直线所得线段的长度是，
，
即，即，，
则圆心为，半径，
圆N：的圆心为，半径，
则，
，，
，
即两个圆相交．
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了向量法求直线与直线所成角，属于基础题.
建立空间直角坐标系，利用向量法求解出与所成角.
【解答】
解：如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，，， ，
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用空间向量求点面之间的距离，属于基础题.
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量进行求解即可.
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则有
令，则，
又，
点到平面的距离
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查经过定点的直线，两直线垂直的性质，属于中档题.
将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，即可求出
【解答】
解：直线，
可将直线方程变形为，
解得，，
由此可得直线系恒过点，
则P到直线l的最近距离为0，此时直线过
P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于
，直线l的斜率为，
，
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆得位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.
先求出圆心和半径，比较半径和，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．
【解答】
解：圆，整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，
，
，，
，
设直线l的倾斜角为，则，
即
直线l的倾斜角的取值范围是，
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆的方程、平面向量的数量积、直线与圆的位置关系，属于中档题.
利用圆的知识与向量数量积，即可求解.
【解答】
解：设弦MN的中点为B，由题可知圆C的半径为，因为，，故，
所以，
，
可得
，
解得
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查三条直线不能构成三角形的条件，三条直线中有两条直线平行或者三直线经过同一个点，属于中档题.
三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m的值.
【解答】
解：①当直线：平行于：时，，
②当直线：平行于：时，，
③当：平行于：时，，m 无解，
④当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点代入：得 ，解得或，
综上，满足条件的m为4、或、或、或
故选
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及与圆有关的最值问题，属于难题.
根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线l的距离可判断B；
将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；
由，且当PO最小时最小时可判断
【解答】
解：对于A，将直线整理得，
由知，，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆的圆心到直线l：的距离为，
所以过圆心且与直线l平行的直线与圆相交有两个点到直线l的距离为1，
与直线l平行且与圆相切，并且与直线l在圆心同侧的直线到l的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆化成标准形式为，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，
解得，故C正确；
对于D，连接OP，OA，OB，
因为A，B为切点，所以，，
所以，且当PO最小时，最小，
所以当PO与直线垂直时，，
又因为半径为2，所以，，
所以，故D正确．
故选
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查线面平行、线线垂直的向量表示，直线与直线所成角的向量求法，属于中档题.
建立空间直角坐标系，利用向量方法逐一分析求解即可.
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，，
所以，，，
由平面，得，即，
化简可得：，所以动点P在直线上，
对于选项A：，，
，
所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：，平面，
平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，
，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，
则P在线段上，，
所以，D选项正确；
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.
只有在时，二元二次方程才表示圆，求解时应注意这个隐含条件.
【解答】
解：由得或2，
当时，方程为，
得，表示圆，满足条件；
当时，方程为，
即，
得，不表示圆，不满足条件，
故，
故答案为：
13.【答案】，或
【解析】【分析】
本小题主要考查求圆的方程，属于中档题.
圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为，设圆的圆心为，圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：
的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为，
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为，知圆P截x轴所得的弦长为，故，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
从而得
又点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当时上式等号成立，此时，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得或
由于知
于是，所求圆的方程是，或
14.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查线线垂直的判定，属于基础题。
首先建立空间直角坐标系，由题设分别写出M，N，A，B四点的坐标，利用垂直关系即可求解.
【解答】
解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，
，解得，故
15.【答案】解：
设切点N为，则有，解得： 或，
所以切点N的坐标为或
圆C：的圆心，半径，
设，由题意可得，
由四边形APCQ为正方形，可得，即，
由题意直线，圆C：，
则圆心到直线的距离，
可得，，解得

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.
设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；
由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得可得圆心到直线的距离为，可得m的值．
16.【答案】解：直线AB的斜率为，
设倾斜角为，则，
，
直线AB的倾斜角为
如图，
当点D在第一象限时，，
设，则，
解得，，故点D的坐标为
由题意得为直线BE的斜率.
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，
故直线BE的斜率的取值范围为，即的取值范围为
【解析】【分析】本题考查直线的斜率、倾斜角，直线斜率的应用，属于中档题.
有过两点的直线的斜率求得AB的斜率；由倾斜角的正切值为斜率，求得倾斜角；
由图知，当点D在第一象限时，，，设，得，求得x，y，得点D的坐标；
由题意得为直线BE的斜率，当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小；当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，得直线BE的斜率的取值范围，即的取值范围.
17.【答案】解：侧棱底面ABCD，而AD，底面ABCD，故，，
底面ABCD是正方形，故，
故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设 .
依题意得 ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面EDB的一个法向量为 ，
则有 即
取 ，则 ，
因为 平面EDB，因此 平面
解：依题意得 ，
因为 ，
所以 .
由已知 ，且 ，EF，平面EFD，
所以 平面
解：依题意得 ，且 ， .
设平面CPB的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 .
同理可得PBD 的 一个法向量为 ，
所以 ⟨⟩ .
所以平面CPB与平面PBD的夹角为 .

【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的向量求法，考查空间角的向量求法，属于中档题.
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为 ，由 证明；
由 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理证明；
求得平面CPB的一个法向量为 ，同理可得平面PBD的一个法向量为 ，由 求解.
18.【答案】解：如图，取BC的中点为O，
由于和为正三角形，
则，，且，，
所以，所以
又，BC、平面ABC，所以平面ABC，
所以三棱柱的体积
如上图，在中，，，
由余弦定理可得，所以
由知，，又，所以平面
因为平面ABC，所以平面平面
所以在平面内作，因为平面平面，则平面
以OA，OC，Oz所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
设是平面的一个法向量，
，，
则即
取得
设，则
，
设直线与平面所成角为，
则，
，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【解析】本题考查棱柱体积的求法以及利用空间直角坐标系求线面所成角的正弦值，题目较难.
取BC的中点为O，证明平面ABC，即可求解体积.
利用空间向量法，求出平面的法向量，即可求解.
19.【答案】解：设点，由题意可得，
即，
化简可得，
所以点P的轨迹的方程为
由题易知直线的斜率k存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线的斜率不存在，
易得，，则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为
，设，，
联立
消y得，
则，，
所以直线OP的方程为，
直线CQ的方程为，
联立解得，
则
，
所以，
所以点N在定直线上.

【解析】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，是较难题.
设点，由题意可得，计算可得点P的轨迹的方程；
设直线的方程为，得出，分和两种情况，计算S，利用基本不等式可得S的最大值；
，设，，直线与圆的方程联立，得出直线OP的方程和直线CQ的方程，联立得出N坐标，可得所以点N在定直线上.
第一轮
甲-乙
丙-丁
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甲-丙
乙-丁
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甲-丁
乙-丙