2024^2025学年湖南省长沙市高二上学期开学考试数学试卷（2套）附解析

这是一份2024^2025学年湖南省长沙市高二上学期开学考试数学试卷（2套）附解析，共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．命题：的否定是（ ）
A．使得
B．使得
C．都有
D．都有
2．若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，
①；
②点是的一个对称中心；
③直线是函数的一条对称轴；
④函数的单调递增区间是.
其中正确的（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
5．已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
7．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与向量共线，则
10．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A．-2B．3C．5D．8
11．对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是（ ）
A．函数是闭函数
B．函数是闭函数
C．函数是闭函数
D．时,函数是闭函数
E．时,函数是闭函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数具有性质：①为偶函数，②对任意，都有，则函数的解析式是 ．（只需写出满足条件的一个解析式即可）
13．若正实数x，y满足，则的最小值为 ．
14．已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期和对称轴；
（2）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值.
16．如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
17．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；
(2)设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；
方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
18．设A是符合以下性质的函数组成的集合，对任意的且在上是减函数。
（Ⅰ）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为，若不等式对任意的总成立，求实数k的取值范围。
19．已知函数.
（1）若，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；
（2）若，，且对任意恒成立，求的取值范围.（用来表示）
参考答案
1．【答案】B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可。
【详解】命题：的否定是使得.
故选B.
【思路导引】本题考查全称命题的否定.
2．【答案】D
【分析】解出命题为真时对应的范围，结合充分、必要性定义分析即可得答案.
【详解】由，得，即，
由，得，即，
所以是的既不充分也不必要条件，
故选D.
3．【答案】C
【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得的定义域.
【详解】，
，
解得，
即函数的定义域为.
故选C.
【思路导引】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力．
4．【答案】D
【分析】由题得，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，对称轴方程为，故②错误，③正确；
令，得的单调递增区间是，故④正确.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；
函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②错误，③正确；
令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.
故选D.
5．【答案】C
【分析】利用指数对数函数的单调性即可判断大小.
【详解】由于，即，由，即，
由，即，故.
故选C.
6．【答案】C
【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性质易证面，由面面垂直的判定有面面，进而可确定关于平面对称点E的位置，则有，应用勾股定理即可求的最小值.
【详解】由题意知，，为直三棱柱，即面面，面面，面，
∴面，又面，
∴面面.
∴易得关于平面对称点E落在的延长线上，且，即，如下图所示，的最小时，、、三点共线.

∴.
故选C.
【思路导引】利用面面垂直确定关于平面对称点位置，根据知当、、三点共线时的最小.
7．【答案】B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图象可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，
故得：，此时且，
，.
故选B.
8．【答案】A
【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以为锐角，
所以，即，
由，解得：，
因为，
所以，
解得：.
故选A.
【思路导引】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.
9．【答案】AD
【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.
【详解】由题意知，，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；
对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，
可得，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；
对于选项D：因为向量与向量共线，
所以若存在，使得，
则，解得，故D正确．
故选AD.
10．【答案】CD
【分析】由解析式可作出图象，将所求不等式变为，分别在、和三种情况下得到不等式的解，通过图象观察可确定1个整数解的值，由此确定临界状态得到取值范围.
【详解】由解析式可得图象如下图所示，
由得：，
当时，，不等式无解；
当时，由得：，
若不等式恰有1个整数解，则整数解为，
又，，，所以；
当时，由得：，此时有多个解，故舍去；
综上所述：实数的取值范围为.
故选CD.
11．【答案】BD
【解析】依次判断每个选项：根据单调性排除；在上的值域为 B正确；根据闭函数定义得到，故D正确，E错误，得到答案.
【详解】因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；
在定义域上是减函数，由题意设，则，解得，
因此存在区间，使在上的值域为，B正确；
在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；
若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实根.
当时，有，解得；
当时，有，此不等式组无解.
综上所述，，因此D正确，E错误.
故选BD.
【思路导引】本题考查了函数的新定义，单调性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
12．【答案】，，，（答案不唯一）
【解析】若函数具有性质：①为偶函数，说明②对任意，都有，说明，是周期函数.
【详解】若函数具有性质：①为偶函数，说明
②对任意，都有，说明，是周期函数.
所以，或或，
故答案为：，，，（答案不唯一）.
【思路导引】本题主要考查了抽象函数的周期性、对称性、以及奇偶性，属于开放性题.
13．【答案】9
【分析】首先将化为，再利用基本不等式进行求解.
【详解】由得，又因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9．
故答案为：9.
14．【答案】
【分析】求出外接球半径，得到，，作出辅助线，求出⊥平面，由勾股定理求出各边长，由余弦定理得到，进而得到，求出，利用锥体体积公式求出答案.
【详解】设外接球半径为，则，解得，故，
由于均在球面上，故，
由勾股定理得，
取的中点，连接，则⊥，⊥，
，
又，平面，故⊥平面，
其中，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
故，
故，
故三棱锥的体积为.
故答案为：.
【思路导引】取的中点，连接，证明出⊥平面，从而利用求出三棱锥的体积.
15．【答案】（1）最小正周期为，对称轴为：；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数式可得即可求的最小正周期和对称轴；
（2）利用三角形面积公式、余弦定理有，即可求的值.
【详解】（1），
∴函数的最小正周期为；
而对称轴为，
∴函数的对称轴为：.
（2）且，则，
由，可知①，
由余弦定理及，可知②；
结合①②：.
【思路导引】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质求周期、对称轴，并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形.
16．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【详解】（1）证明：在正方形中，可得，又，，，平面，
所以平面，又平面,
所以平面平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以，
分别取，上的点，使得，
又因为，故四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
取中点，则，
又，故四边形是平行四边形，所以，
又因为，是的中点，故是的中位线，
所以，又由平面，平面，
所以平面，，平面，
所以平面平面，又由平面，
所以平面，此时.
【思路导引】对于这类探索性问题，通常是利用面面平行，证得线面平行，并确定点的位置.
17．【答案】(1)；
(2)，应选择方案二.
【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，
（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.
【详解】（1）临界值时，I级品中该指标大于60的频率为，
II级品中该指标大于60的频率为0.1，
故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为：，
（2）当临界值时，若采用方案一：
I级品中该指标小于或等于临界值的概率为，
可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；
II级品中该指标大于临界值的概率为，
可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；
故可以估计芯片生产商的损失费用，
，
又采用方案二需要检测费用共130万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.
18．【答案】（Ⅰ）不在集合A中，在集合A中； （Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据集合的性质检验；
（Ⅱ）求出的最大值，可得的范围．
【详解】（Ⅰ）因为在时是减函数，且，
所以不在集合A中，又因为时，，
所以且在上是减函数，在集合A中；
（Ⅱ）当时，，
又由对任意的恒成立，所以，
所以所求的实数的取值范围是．
【思路导引】本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题．不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．如恒成立，恒成立．
19．【答案】(1)；(2) 当时，；当时，.
【解析】（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得；
（2）对参数进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围.
【详解】（1）由题可知是开口向下，对称轴为的二次函数，
当时，二次函数在区间上单调递增，
故可得显然不符合题意，故舍去；
当，二次函数在单调递增，在单调递减，
且当时，取得最小值，故，不符合题意，故舍去；
当时，二次函数在处取得最小值，在时取得最大值.
则；，整理得；
则，解得或（舍），
故可得.
综上所述：.
（2）由题可知，
因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，且.
因为，故可得.
①当，即时，
在区间单调递减，
故，
则，
解得.
此时，，也即，
故.
②当，即时，
在单调递减，在单调递增.
，即
又因为，，
则，
故的最大值为，
则，解得，
此时，
故可得.
综上所述：
当时，；
当时，.
【思路导引】本题考查二次函数动轴定区间问题的处理，以及由恒成立问题求参数范围，涉及对勾函数的单调性.
2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学考试数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1B．4C．6D．7
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，则的最小值是（ ）
A．8B．12C．16D．
6．已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ）
A．0.4B．0.58C．0.7D．0.72
7．甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
10．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，，；n，，．记样本平均数为，样本方差为，．
A．男生样本容量为50B．每个女生被抽到的概率
C．抽取的样本的均值为165D．抽取的样本的方差为43
11．如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C．若保持，则点M的运动轨迹长度
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则m的值为 ．
13．如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则 ．
14．若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设锐角的内角的对边分别为，
(1)求角；
(2)若边，面积为，求的周长．
16．现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图．
(1)求的值并估计这名男生的身高的第百分位数；
(2)求这名男生中身高在以上（含）的人数；
(3)从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率．
17．如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．
(1)若Q是直线PC与平面的交点，试确定的值；
(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”．
(1)设函数，求函数的“特征向量”；
(2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值；
(3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
(1)若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；
(2)已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】∵
，
，∴，有6个元素.故选C.
2．【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选A.
3．【答案】A
【详解】，∴复数的虚部为.故选A.
4．【答案】B
【详解】由函数，可得其定义域为，可排除C、D选项，
又由，∴函数为偶函数，排除A选项.故选B.
【规律方法】函数图象的辨识可从以下方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．【答案】C
【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.
【详解】，
，
，
，
，，
，
当且仅当时取等号.
故选C.
【思路导引】本题考查对数的运算法则及基本不等式.
6．【答案】B
【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.
【详解】，，
所以.
故选B.
7．【答案】D
【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.
【详解】
由上表知：
若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；
若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；
若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；
所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.
故选D.
8．【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出，，即可判断出，再利用作差法比较的大小关系即可求解．
【详解】，，
，
，，
，，
，
，
.
故选A．
9．【答案】CD
【详解】对于A：由的图象向左平移个单位，
得，
与得到函数不相同，故A错误；
对于B：将代入得，此时既不是最高点，也不是最低点，
所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
对于C：当时，，
由于在上单调递减，而，所以在上单调递减，故C正确；
对于D：将代入得，此时是函数零点，
所以的图象关于点对称，故D正确.
故选CD．
10．【答案】ABD
【分析】根据抽样比即可求解人数判断A，根据概率公式即可求解B，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.
【详解】对于A，男生被抽的人数为，故A正确，
对于B，每个女生被抽到的概率为，故B正确，
对于C，抽取的样本均值为，故C错误，
对于D，样本的方差为，故D正确，
故选ABD.
11．【答案】BCD
【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D．
【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，
连接，则，故A错误；
对于B，如图：
平面，平面，，又，
，，平面，
平面，平面,，
同理可得，，，平面．
平面．
过点作交交于，过作交交于，
由，可得，平面，平面，
平面，同理可得平面，
平面，
则平面平面．
设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，
由点在棱上，且，可得，，
，故B正确；
对于C，如图：
若，则在以为球心，为半径的球面上，
过点作平面，则，此时．
点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为．
点的运动轨迹长度，故C正确；
对于D，如图：
延长，交于点，连接交于，连接，
平面被正方体截得的截面为．
，，
，，
，，且，
截面为梯形，
，截面为等腰梯形，故D正确．
故选BCD．
【方法总结】作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
12．【答案】
【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量的夹角为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】设向量的夹角为，因为，可得，
因为，所以，即向量与向量反向，
又因为向量，，
设，可得，可得且，
解得.
故答案为：.
13．【答案】10
【分析】过点作，且，连接，，先证明为等边三角形，从而得到，再证明，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点作，且，连接，，
则，又，
所以为等边三角形，所以，
则四边形为矩形，即，
由，则，又，且，
所以平面，所以平面，
又平面，所以，
则由勾股定理得．
故答案为：10．
14．【答案】25（答案不唯一）
【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据求解.
【详解】如图所示的三棱锥中，,
在中，三边关系符合三角形的边角关系，
设，则且，
因此，由于，故可取，
故答案为：25（答案不唯一）.
15．【答案】(1)；
(2)20.
【分析】（1）由正弦定理得到，求出；
（2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长.
【详解】（1）由及正弦定理，得，
又，得，
所以，又为锐角，所以；
（2）由（1）得，则，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以的周长为．
16．【答案】(1)；；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；
（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；
（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
，解得.
因为，，
所以第百分位数落在区间内，
设第百分位数为，则，解得，
即第百分位数为.
（2）由图知，身高在以上（含）的人数频率为，
则身高在以上（含）的人数为.
（3）由（2）知，身高在以上（含）的人数为，
则身高在以上（含）的人数为，
男生中身高在内的人数为，
令身高在内编号为，
身高在内编号为，
则样本空间为，
所以该人中身高恰有人在以上（含）的概率为.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据线线平行可得平面平面,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解的余弦值，根据与平面所成角与互为余角即可求解.
（2）根据体积公式可得是中点，进而根据线线垂直证明平面，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解.
【详解】（1）取中点为，取中点，过作,连接，
由于且，
故,故四边形为平行四边形，故，
平面,平面,故平面
又,平面,平面,故平面,
平面，故平面平面,
由于平面与平面相交于,于平面相交于，故，
又，是的中点，是的中点，所以,
故是靠近于处的三等分点，故.
（2）由于三棱锥的体积为，
由于,故为等边三角形，故则,
故，即到平面的距离为1，由于,故是中点，
由于平面,平面,故,
又,则，
平面，故平面，
平面，故,
又为中点，故,
平面，故平面，
取的中点，连接,则,
故平面，
,,
则,
由于为锐角，且与平面所成角与互为余角，
因此与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）因为
所以的“特征向量”为．
（2）由题意知，
由得，，
因为，，所以，
所以．
（3），当时，．
由得，
所以或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
因为方程在上存在4个不相等的实数根，
所以当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，
因为方程在上有两个不等实根，
即当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，
由图像可知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是．
19．【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；；（ⅱ），.
【分析】（1）根据直线满足方程，对进行合理取值两次，求出即可求解；
（2）（ⅰ）根据分析得到为截去三棱锥所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；
（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．
【详解】（1）直线是两个平面与的交线，
所以直线上的点满足，
不妨设，则，
不妨设，则，
所以直线的一个方向向量为：；
（2）（ⅰ）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，
即为三个坐标平面与转成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，
为截去三棱锥所剩下的部分，
的体积，
三棱锥的体积为，
的体积为，
所以由对称性知．
（ⅱ）①记集合中所有点构成的几何体为，如图，
其中，正方体即为集合所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为2，
，
的体积，
②由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为，
面方程为，由题干定义知其法向量为，
，由图知两个相邻面所成的角为钝角，
所以所成二面角的余弦值为：．
【方法总结】关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．
甲
乙
丙
丁
甲
得奖
乙
得奖
丙
没得奖
丁
没得奖