2024-2025学年四川省成都市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．3C．D．4
2．已知向量，若，则（ ）
A．5B．4C．D．
3．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
4．对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ）
A．至少有一次命中目标B．至多有一次命中目标
C．恰好两次都命中目标D．恰好有一次命中目标
6．已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
7．如图所示，在下列选项中，边长为1的正三角形利用斜二测画法得到的直观图后不是全等三角形的一组是( )
A．B．
C．D．
8．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在钝角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，那么c的值可能为（ ）
A．1B．C．2D．4
10．已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．极差变小D．方差变小
11．如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（ ）

A．四边形一定为矩形B．平面平面
C．四棱锥体积为D．四边形的周长最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是 ．
13．如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则 ．
14．已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 ；二面角的余弦值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：

(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中a的值；
(3)估计当天游客满意度分值的分位数.
16．已知向量，．
(1)设，求的最小值；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
(1)求；
(2)若，求．
18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值．
19．对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)求证：；
(3)已知，，且与不平行，，，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据复数的除法的运算和共轭复数及复数虚部的概念即可得到答案.
【详解】，则，
故，虚部为，
故选：C．
2．【答案】D
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得.
故选：D.
3．【答案】B
【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到，即可得到答案
【详解】由正弦定理可知，
设，
所以，所以，所以的形状是直角三角形，
故选：B
4．【答案】A
【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则或或相交，故C错误；
对于D，若，则或，故D错误.
故选A.
5．【答案】A
【分析】根据对立事件定义直接判断即可.
【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.
故选：A.
6．【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
7．【答案】C
【分析】利用斜二侧法画直观图的方法，平行性不变，平行于轴的线段长度相等，平行于轴的线段长度是原来的一半，可得结论．
【详解】根据斜二测画法的规则，A,B,D中正三角形的底边都没有改变，
而三角形的高都平行于轴或与轴重合，因此它们的高相等，
故A,B,D中三组三角形的直观图是全等的．
而对于C，画成直观图之后，第一个三角形中，到的距离变成原来的，
第二个三角形中，到的距离保持不变，因此两个三角形的直观图不全等．
故选:C．
8．【答案】C
【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】因为，，所以，
，
设外接圆的半径为，圆心为，则，即，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得（负值已舍去）；
因为平面，所以，
即，即，解得（负值已舍去）；
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找到球心位置，求出底面外接圆半径和外接球半径，再根据勾股定理求出棱锥的高.
9．【答案】BCD
【分析】考虑为钝角或为钝角两种情况，根据余弦定理得到或，得到答案.
【详解】若为钝角，则，且，
即，BC满足；
若为钝角，则，且，
即，D满足；
故选：BCD
10．【答案】ACD
【分析】利用平均数、极差的定义计算判断AC；利用中位数的定义举例判断B；利用方差的意义分析判断D作答.
【详解】对于A，新数据的总和为：，
与原数据总和相等，且数据个数都是，因此平均数不变，A正确；
对于B，不妨设原数据为：，中位数为，则新数据为：，中位数为2，B错误；
对于C，原数据极差为：，新数据极差为：，
而，即极差变小了，C正确；
对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，D正确.
故选：ACD.
11．【答案】BC
【分析】对于A，由正方体的性质得平面平面，从而，同理得，再由，得四边形为菱形；对于B，连接，，，推导出，，从而得到平面平面；对于C，求出四棱锥的体积进行判断；对于D，四边形是菱形，当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小．
【详解】连接，，，，，显然，且，所以为平行四边形，
所以，由题意得，平面，平面，所以，
，平面，所以平面，则平面，
平面，所以平面平面，故B正确；
由正方体的性质得平面平面，
平面平面，平面平面，故，
同理得，又平面，平面，，四边形为菱形，故A错误；
对于C，四棱锥的体积为：
，故C正确；
对于D，四边形是菱形，
四边形的周长，
当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小，
此时，即周长的最小值为4，故D错误．
故选：BC．

12．【答案】
【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.
【详解】解：设圆锥的底面半径为，则高为，母线长为.
依题意，解得或（舍去），
所以圆锥的底面半径为，高为，母线长为.
所以圆锥的表面积为.
故答案为：
13．【答案】3
【分析】先证明为中点，再利用转化法求得，代入数据即可.
【详解】因为，则为中点，
则，则，
则，
则.
故答案为：3.
14．【答案】 /0.75
【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解.
【详解】如下图，过点作，连接，
结合题意可知为的中点，且，
所以即为二面角的平面角，由题意可知，.
因为，，所以，，
所以，且，进而得到，
因为，则异面直线与所成角即为或其补角，
在中，由余弦定理可得，
则异面直线与所成角的余弦值是；
取的中点，连接，因为，，
所以，，则即为所求二面角的平面角，
在中，因为，，
所以，同理，
在中，由余弦定理可得，
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可.
15．【答案】(1)50，40，10
(2)0.020
(3)82.5
【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；
（2）利用频率之和为1列出方程，求出的值；
（3）利用百分位数的定义进行求解.
【详解】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人；
（2）由题意可得，，解得：；
（3）设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的分位数为.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】由平面向量的坐标计算即可.
【详解】（1）由题意得：，
所以
所以当时，取得最小值为.
（2）由于，，向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量与向量不能共线，即
即
所以，
故实数t的取值范围为：
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即可解决.
【详解】（1）若选①，
由余弦定理可得，
∴，
又，∴，∴．
若选②，
则，
又，∴，∴．
（2）由正弦定理（为外接圆半径），
可得，
又∵，
∴，解得．
∴．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用中位线得，再利用线面平行的判定即可；
（2）利用线面垂直的性质得，再证明，最后根据面面垂直的判定即可证明；
（3）取的中点，连接，，根据线面角定义转化为求的正切值，最后根据三角函数定义即可得到答案.
【详解】（1）连接，在平行四边形中，
为与的交点，
为的中点，又为的中点，，
又平面平面，
平面.
（2）平面平面，，
在中，，，又，，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（3）取的中点，连接，，
为的中点，，且
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在Rt中，，
，从而，
在Rt中，，
直线与平面所成角的正切值为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）计算得，从而，再展开计算即可证明；
（3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可.
【详解】（1）因为向量
所以
所以.
（2）因为.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二:设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可.
2024-2025学年四川省成都市高二上学期9月月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（ ）.
A．450B．360C．400D．320
2．已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007B．253C．328D．860
4．某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
8．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C．分数在区间内的频率为0.2
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10．根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有（ ）
A．高三年级学生平均学习时间最长
B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
11．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 .
13．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为 .
14．已知函数，其中系数a、，任取一个函数有零点的概率是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在正方体中，是棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
16．已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.
(1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；
(2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.
17．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
18．如图，平面，为圆O的直径，分别为棱的中点．

(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
19．某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
记抽取的第i个女生的身高为（，2，3，…，10），样本平均数，方差.
参考数据：，，.
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
(3)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为.
故选：B.
2．【答案】D
【详解】因为，
对于A，若，则有可能在平面内，故A错误；
对于B，若，又，则，又，所以或在平面内，故B错误；
对于C，若，则有可能与平面相交但不垂直，故C错误；
对于D，若，则，又，则，故D正确．
故选：D
3．【答案】A
【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，
第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，
下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，故A正确.
故选：A.
4．【答案】A
【详解】将比赛得分从小到大重新排列：，
因为，
所以这组数据的分位数是第个数93.
故选：A.
5．【答案】D
【详解】，.
因为，所以，
则，解得.
故选：D.
6．【答案】A
【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.
故选：A.
7．【答案】B
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件与事件与是互斥而非对立的事件.
故选：B
8．【答案】D
【详解】由题可知，，
又，所以，解得，
所以.
故选：D.
9．【答案】BC
【详解】对于A，平均成绩为，A错误；
对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，
因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确；
对于C，分数在区间内的频率为，C正确；
对于D，区间应抽取人，D错误.
故选：BC
10．【答案】AD
【详解】对于选项A：根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，故A错误；
对于选项B：根据图象可知，中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，
其中高中生平均睡眠时间最接近标准，故B正确；
对于选项C：根据图象可知，学习时间长于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，占比为，睡眠时间长于学习时间的占比为，
所以大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间，故C正确；
对于选项D：从高三到大学一年级，学习时间减少了（小时/天），
睡眠时间增加了（小时/天），故D错误．
故选：AD.
11．【答案】AB
【详解】记个白球为，个黑球为，随机取出个小球的事件如下，
，
事件对应的基本事件有，所以，故A正确；
事件对应的基本事件有，所以，
事件对应的基本事件有 ，所以，又，故D错误；
其中对应的基本事件有，所以，故B正确；
对应的基本事件有，所以，故C 错误.
故选：AB
12．【答案】/
【详解】记“甲投中”，“乙投中”，
则,
所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为
.
故答案为：0.38.
13．【答案】
【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为，
则样本中所有员工的体重的方差，
所以样本中所有员工的体重的方差为120，标准差为.
故答案为：
14．【答案】
【详解】由已知，函数解析式一共有种不同的情况，
若函数有零点，
则相应的一元二次方程的，
即，所以有；；；
；；共6种情况，
由古典概型概率公式可得.
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
（2）因为正方体中，平面，
所以．
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有：
，共20种.
3个小球上标号均不相同的有：
共8种，
所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为.
（2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法.
2个小球上标号相同的取法有：
共12种取法，
所以2个小球上标号相同的概率为，
所以取出的2个小球上标号不相同的概率.
17．【答案】(1)，，平均数为
(2)万，理由见解析
(3)5.8吨，理由见解析
【详解】（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
；
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：
（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为分别为棱的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为为圆O的直径，所以．
因为平面，平面，所以．
又，平面，所以平面．
由（1）知，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
19．【答案】(1)40；
(2)；
(3)平均数为159，方差为.
【详解】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
（2）记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为，
女生样本（10人）的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
（3）因，，则，即，
约为，由样本数据知，，为离群值，
剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：.
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163