2024-2025学年四川省广元市高二上册9月月考数学检测试卷合集2套（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省广元市高二上册9月月考数学检测试卷合集2套（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ）
A．B．C．2D．
2．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6
3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A．，3B．，2C．1，3D．，2
5．已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4B．2C．3D．1
6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ）
A．B．C．D．6
7．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）．
A．B．
C．D．4a
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为D．的最大值为4
11．已知四面体满足，，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．点为直线上的动点，到距离的最小值为
D．二面角平面角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为 .
13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 ．
14．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.
(2)求与平面所成角的正弦值.
16．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

(1)这一组的频数､频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.
(3)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求
（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;
（2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;
（3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;
18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
(1)求证：；
(2)若，求三棱台的体积；
(3)若到平面的距离为，求的值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】点关于z轴的对称点为B，
所以.
故选：A.
2．【正确答案】C
根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个；
则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个；
所以这两个数都是奇数的概率是.
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，
所以.
故选：C
4．【正确答案】D
【详解】因为，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，
所以，
所以，解得.
故选：D
5．【正确答案】D
【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故选：D
6．【正确答案】C
【详解】因为，所以
，
从而，即的长为．
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＝1.
8．【正确答案】A
【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，∴，
设，则，

∵，∴，可得；
当时，，当时，，
取，，，，
连结，，，，
则，，
∴四边形为矩形，则，，
即，，又和为平面中的两条相交直线，
∴平面，
又，，
∴为的中点，则平面，
为使，必有点平面，
又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，
又，，∴，则点的轨迹不是正方形，
则矩形的周长为．
故选：A
9．【正确答案】ABC
【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.
故选：ABC.
10．【正确答案】AC
【详解】对于A，若，且，
则存在唯一实数使得，即，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则，即，
化简得，因为，所以无实数解，故B错误；
对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.
故选：AC.
11．【正确答案】BCD
【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为，
则，
所以解得，
建立如图所示的空间直角坐标系，则,
故故，
所以直线与所成的角为，A错误，
由于，故，
直线与所成的角为，B正确，
对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离的最小，
且最小值为长方体的高，即为，C正确，
对于D，取中点，连接,由于，，
所以,故为所求角，
,
故，故D正确.
故选：BCD
12．【正确答案】4
【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.
故4.
13．【正确答案】2
【详解】因为，
又，
所以，，，．

故答案为.
14．【正确答案】
【详解】记在底面内的投影为，则底面，
又、平面，故、，
则，，
又，则，
所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，，，
所以，
所以，
设直线与直线的所成角为，
所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，A10,0,4.

因为，分别为的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，即，
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面；
（2）由（1）可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为.
16．【正确答案】(1)，
(2)，，
(3)
【详解】（1）根据题意，的这一组的频率为，
的这一组的频率为，
的这一组的频率为，
的这一组的频率为，
的这一组的频率为，
则这一组的频率为，
其频数为；
（2）这次竞赛的平均数为，
一组的频率最大，人数最多，则众数为，
分左右两侧的频率均为，则中位数为；
（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，
因为之间的人数为，设为､､､，
之间有人，设为､，
从这人中选出人，有
、、、､、、、
、、、､、、、
，共个基本事件，
其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，
则.
17．【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.
∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，
∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =，
P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=，
P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =，
（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.
（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=.
（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：在中，由余弦定理知，，
所以，即，
因为，且，、平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，
所以，0，，，，，，，，
，0，，，，，
所以，0，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
即，
取，则，，所以，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
取，则，，所以，，，
因为平面和平面夹角的余弦值为，
所以，
整理得，，即，
解得或，
因为，所以，
故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时．
19．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）取的中点为，连接；如下图所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因为，
可得四边形为等腰梯形，
且分别为的中点，所以，
因为，所以，
易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，因此可得平面，
可知即为三棱台的高，由可得；
易知三棱台的上、下底面面积分别为，
因此三棱台的体积为
（3）由（1）知，，，二面角的平面角即为；
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，
易知，可得；
则
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，可得；
显然，
由到平面的距离为，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.
2024-2025学年四川省广元市高二上学期9月月考数学检测试卷（二）
一、单选题（本大题共12小题）
1．若直线的倾斜角为，则实数值为（ ）
A．B．C．D．
2．直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知点，，，则外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
4．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （ ）
A．3B．C．D．
5．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则FG·ED= （ ）
A．18 B．38 C．−18 D．−38
6．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．设，向量，，，且，，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
8．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
10．已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
11．已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
12．正四面体棱长为6，，且，以A为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．48D．50
二、多选题（本大题共4小题）
13．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
14．如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
15．已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A．直线的倾斜角为
B．过且与直线平行的直线方程为
C．过点且与直线垂直的直线方程为
D．若到直线的距离为，则
16．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（ ）
A．圆上恰有两个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．当最小时，直线方程为
D．直线恒过定点
三、填空题（本大题共6小题）
17．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 .
18．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 .
19．已知向量，，则在上的投影向量为 .（用坐标表示）
20．如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 .
21．如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则 ．若，且 平面ABC，则实数 ．
22．曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共4小题）
23．已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：
(1)所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程.
24．求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.
25．如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
26．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线AB与直线CM所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题知，，
解得.
故选：C
2．【正确答案】B
【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由题设，
解得或，
故，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选B.
3．【正确答案】B
【详解】由题
得是直角三角形，且，
所以圆的半径为，圆心为，
所以外接圆的方程为.
故选：B.
4．【正确答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.
【详解】，
又，所以
所以.
故选B.
5．【正确答案】A
【分析】根据空间向量基本定理及线性运算可得FG·ED=12AC⋅AD−12AB ，再根据向量数量积的运算律即可得出答案.
【详解】解：根据题意可知，空间四边形的四个面都是等边三角形，
则∠BAC=∠DAC=60∘ ，
则FG·ED=12AC⋅AD−AE
=12AC⋅AD−12AB
=12AC⋅AD−14AC⋅AB
=14−18=18 .
故选：A.
6．【正确答案】A
【分析】
根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】
依题意得
则点C到直线AB的距离为
故选：A
7．【正确答案】C
【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解.
【详解】，
，
，，
，
，
，．
，
．
故选：C.
8．【正确答案】A
【详解】直线上任取一点作圆的切线，设切点为.
圆，即，圆心为，半径为.
切线长为.
.
所以切线长的最小值为.
故选：A.
9．【正确答案】B
【详解】由题设可得圆的圆心坐标为，半径为，
动直线可化为：，
故该直线恒过定点，因为，
故定点在圆的内部，故圆心到动直线的距离的最大值为，
故的最小值为，
故选：B.
10．【正确答案】D
【详解】方法1：由曲线关于直线对称，
故直线经过圆心，
即有，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为；
方法2：由曲线关于直线对称，
故直线经过圆心，
即有，即，
由权方和得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D．
11．【正确答案】A
【详解】设，则，
整理得，
联立消去二次项得公共弦所在直线方程，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为1，
所以公共弦长为.
故选：A
12．【正确答案】D
【详解】因为正四面体的棱长为，
所以，
同理可得,,
又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点，，,
所以，
由，则
因为，所以
当且仅当取等号，
此时，
所以,
故的最小值为.
故选D.
13．【正确答案】AB
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
14．【正确答案】BD
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解.
【详解】A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
又，
所以，故C错误；
D：，故D正确．
故选：BD
15．【正确答案】BC
【详解】直线可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故错误；
设与直线平行的直线方程为，由直线经过原点，则，
即平行直线方程为，故B正确；
设与直线垂直的直线方程为，由直线方程经过点，所以，
即垂直直线方程为，故C正确；
到直线的距离，得，所以，故D错误；
故选：BC.
16．【正确答案】AC
【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项.
【详解】
由圆，得圆心，半径圆，
A选项：点到直线的距离为，又，即，
所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确；
B选项：切线长，
所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误；
D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设，
则以为直径的圆的圆心为，半径为，
圆的方程为，即，
又，在圆上，则，
得，则，解得，
所以恒过定点，D选项错误；
C选项：由已知，
所以，
所以当取最小值时最小，此时，
所以，直线方程为，即，
联立，解得，故，则，
所以，即，C选项正确；
故选：AC.
17．【正确答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0
【详解】当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，设轴截距为，则轴截距为，可设直线方程为，
将P(1,2)代入方程，可得，得直线方程为x－y＋1＝0.
∴综上，直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
故2x－y＝0或x－y＋1＝0.
18．【正确答案】
【详解】设点，点，
则所以
因为点在圆上，
所以，
所以，
所以点M的轨迹方程为,
即.
【方法拓展】求与圆有关的轨迹问题的解法
(1)直接法：根据已知条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
19．【正确答案】
【详解】因为，，则，
所以，，
所以，在上的投影向量为
.
故答案为.
20．【正确答案】5或
【详解】由题意知可化为，
可知圆心坐标为，半径，
根据点到直线的距离公式和弦长关系可得
解之可得或.
故5或
21．【正确答案】 /0.75
【详解】
由条件可知：

；
延长 与AM交于D，连接BD，则当 时， 平面ABC，
平面ABC， 平面ABC；
令 ，则有 ，
，
根据向量基底表示法的唯一性，有： ，解得 ，
，
.
故，
22．【正确答案】
【详解】依题意，，，即或，
当时，曲线方程表示在直线及左侧半圆，圆心为，半径为1，
当时，曲线方程表示在直线及右侧半圆，圆心为，半径为1，
曲线与直线有两个不同的交点，
等价于上述两个半圆组成的图形与直线有两个不同的交点，
在同一坐标系内作出曲线与直线，如图，
当直线与半圆相切时，，解得，
当直线过点时，，由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点，
当直线过点时，，这条直线也过点，符合题意，
当直线与半圆相切时，，解得，
当直线过点时，，由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点，
所以实数的取值范围是.
故
23．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，，得直线的斜率为，
所以所在直线的方程为，即.
（2）由（1）知，直线的斜率为，而，
则边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
24．【正确答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）据点可设直线方程为.
圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为，
从而.
所以，
得.
这就说明或，所以所求直线的方程为或.
（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为，
所以该圆的方程是，即.
而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为.
所以，解得.
故所求的圆的方程为或.
25．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知证明两两垂直，构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面垂直；
（2）（3）向量法求面面角正弦值、点面距离即可；
【详解】（1）由平面，平面，则，又，
所以两两垂直，构建如下空间直角坐标系，
则，
故，，，
令是面的一个法向量，则，取，则，
显然，故平面；
（2）由（1），，，
若是面的一个法向量，则，取，则，
所以，则平面与平面所成夹角的正弦值为.
（3）由（1），，则点到平面的距离.
26．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）取中点D，连接DN、，
∵D、N分别为、中点，∴且，
∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面 平面，
∴平面；
（2）∵直三棱柱中，∴平面ABC，
又CB、平面，即，
∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
有，，
则，
所以直线AB与直线CM所成角的余弦值为.
（3）设，，
∵，∴，∴，
又， ，
设平面MBC的法向量为n=x,y,z，
则，令，则，得，
∴P点到平面MBC的距离为，
又，解得.
所以点存在，此时.