四川省成都市2024-2025学年高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份四川省成都市2024-2025学年高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ）
A．150B．110C．70D．20
2．已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A．B．C．D．
3．三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A．B．C．1D．
4．已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．给出下列命题，其中不正确的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
C．已知向量，，若，则为钝角.
D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50°
8．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在平行六面体中，，则（ ）
A．为棱的中点B．为棱上更靠近的三等分点
C．D．平面
10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为
8 44 2
88 8 31 47 7 21 76 33 50 63
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 .
14．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，，，，
(1)若、共线，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16．如图所示，平行六面体中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
17．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.

(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为.
故选：D.
2．【答案】B
【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，则，则，
因此，.
故选：B.
3．【答案】D
【详解】由题意三棱锥中，点面，且，
所以，解得.
故选：D.
4．【答案】A
【详解】由题意可得：，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
5．【答案】C
【详解】连接，
.
故选：C
6．【答案】A
【详解】因为二面角的大小为，，，，，，
所以与的夹角为，又因为，
所以
，
所以，即．
故选：A．
7．【答案】ACD
【详解】对于A，向量量，，可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确；
对于B，假设不是空间向量的一个基底，
所以，
因为是空间向量的一个基底，
所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
对于C，当时，向量，，
，
此时所成角为，则不为钝角，故C不正确；
对于D，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线与平面所成的角等于，故D不正确.
故选：ACD.
8．【答案】A
【详解】
设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角.
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
又底面的一个法向量为，
所以，因为，
则，
当时，，
当时，，当，，
则，，则，
则当时，分母取到最小值，此时，
当，时，则，此时，
综上，
故选：A.
9．【答案】ABD
【详解】因为，
所以，则为棱的中点，A正确.
因为，所以，则为棱上更靠近的三等分点，B正确.
因为为棱的中点，为棱上更靠近的三等分点，易得，C错误.
因为平面平面平面，所以平面，D正确.
故选：ABD.
10．【答案】AC
【详解】对于A：，
与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，
∴，故C错误；
对于D：，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
11．【答案】ABD
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
12．【答案】31
【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数，
且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：，
所以选出来的第5个个体的编号为31.
故答案为：31.
13．【答案】
【详解】两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
14．【答案】
【详解】设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，.
于是，即，即，即.
同理，，，
从而，由，得，
其中
，
即，解得，所以正方体的表面积.
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得．
（2）解；由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数的范围为．
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）

如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
正四棱柱,为中点,
则点到直线的距离为：.
（2）由（1）可得，
则，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
四川省成都市2024-2025学年高二上学期10月月考数学检测试题（二）
一、单选题
1．若事件A与B互为互斥事件，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2B．C．D．
3．已知，，下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（ ）
A．−7或0 B．0或7C．0 D．7
5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（ ）
B.-C.- B.-2 C.-2或3 D.2或-3
7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（ ）
A．B．1C． D．
8．如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．异面直线、所成的角为
C．几何体的体积为D．平面与平面间的距离为
二、多选题
9．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点P是平行四边形所在平面外的一点，若，，，则以下结论正确的是（ ）．
A．是锐角 B．是平面的一个法向量 C． D．
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为
三、填空题
12．已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为 .
13．已知点，若点在线段上，则的取值范围为 .
14．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
四、解答题
15．某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点．
（1）求的长；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
17．如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点.
(1)求点E到直线BF的距离
(2)求与平面所成角的正弦值；
18．某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．
(1)求小明得3分的概率；
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．
19．棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，.
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置.
参考答案
1．D【详解】∵事件A与B互为互斥事件，，∴.
2．A【详解】由题意，，，，则空间向量在向量方向上的投影数量为.所以所求投影向量的模长为2.
3．D【详解】，故A错误；，则不垂直，故B错误；，故C错误；，故D正确.
4．B【详解】当时，直线AB的斜率不存在，直线 CD的斜率为此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;当时， 则 解得，综上，或.
5．C【详解】因为:，所以：.又因为：，
所以：，所以：.
6．A.
7．B【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，，
∴，
，.
8．C【详解】由于四边形是矩形，所以，由于，平面，所以平面，由于平面平面，所以平面.
由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，
所以，同理可证得，所以,所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确.
由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角），由于，所以三角形是等边三角形，所以，即异面直线、所成的角为，B选项正确.
将几何体补形为正方体，如下图所示，所以，C选项错误.
由上述分析可知，由于平面，平面，所以平面.同理可证得平面，由于，所以平面平面.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，
设平面的法向量为，则，故可设，，平面与平面间的距离，即到平面的距离，所以距离为，D选项正确.
ABC【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机；“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中.所以，，所以，，故选项A，B，C正确，D不正确．
10．AD【详解】对于A，由，，得，因此是锐角，A正确；对于B，由，，得，，则与不垂直，即不是平面的法向量B错误；对于C，由，，得，而，显然与不共线，C错误；对于D，由，得，而，,因此，即，D正确.故选：AD
11．ABD【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，对于A中，，因为，所以，即，所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确；
对于B中，，则与所成角的余弦值为，
所以B正确；
对于C中，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，可得，所以，则点到平面的距离为，所以C错误；
对于D中，由，直线方向上的单位向量是，则到的距离为，所以D正确.
12．【详解】∵l⊥α，则∥，则，解得.故答案为：.
13．【详解】表示过点Mx,y和点的直线斜率，如图，因为，结合图形可知或，所以的取值范围为.故答案为：
14．【详解】设事件分别表示甲两轮猜对1个，2个成语，事件分别表示乙两轮猜对1个，2个成语，则
，，，，
设事件为““星队”在两轮活动中猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以，故答案为：
15．(1) (2)
【详解】（1）甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个，其中甲乙两人同时参加A岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个，故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为；
（2）甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个，故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为．
16．（1）3 （2）．
【详解】（1）以，，的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，可得，所的长为3．
（2）由（1）的坐标系，可得，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，所以，即异面直线与所成的角的余弦值．
17．(1) (2)
【详解】（1）因为正方体的棱长为，以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，，所以，，则在的投影长度为，且，所以点E到直线BF的距离为.
（2）由（1）得，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，令，则，，故，设与平面所成角为，，
则，所以与平面所成角的正弦值为.
18．(1) (2)选择都在乙处投篮通过率更大
【详解】（1）设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B，于是，，
小明得3分的概率．
（2）小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率
，
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
，
，所以选择都在乙处投篮通过率更大．
19．（1）证明见解析； （2）； （3）点在的延长线上且使.
【详解】由题意，连接交于，则，连接，在中，，，，
∴，∴，
∴，由于平面平面，所以底面，
所以以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
（1）由于，，，则，∴.
（2）设平面的法向量，则，即，取，可得，
同理，可得平面的法向量，所以，
又由图可知成钝角，所以二面角的平面角的余弦值是.
（3）假设在直线上存在点，使平面，设，，则，得，，
设平面，则，设，得到，不妨取，又因为平面，则即得.即点在的延长线上且使.