2024-2025学年山东省日照市五莲县高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省日照市五莲县高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A．B．C．6D．12
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是（ ）．
A．B．C．D．
7．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为D．直线BC与平面所成的角为
8．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
A．①②B．①③C．②③D．③④
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．
D．若是关于的方程：的根，则
10．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面的夹角的正切值为
11．在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则的最小值为
D．将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则 .
13．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
14．已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．

图1 图2
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知空间中三点，设
(1)已知，求的值；
(2)若，且，求的坐标.
16．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
17．如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值.
18．如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．

(1)证明：；
(2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值．
19．如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点，
(1)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】复数，则，
所以.
故选：D
2．【答案】C
【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案.
【详解】因为 不重合，，
对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确；
对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确；
对③，若 ，故③错误；
对④，，故④正确.
故选C.
3．【答案】A
【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系，
过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，
所以圆弧的长度为：，，
则，
同理，过向圆O作垂线垂足为，则，
所以.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】因为，则，
所以．
故选B．
5．【答案】D
【详解】因为是正方体，所以平面平面,
平面平面,平面平面,
所以,是靠近的三等分点，
所以,
平面平面即是,
如图建立空间直角坐标系,设正方体边长为3，
则
设直线l与所成角为
.
故选：D.
6．【答案】A
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则
所以
设平面的法向量，则 即
设，则
所以
则点到平面的距离为.
故选:A
7．【答案】B
【分析】对于A，根据正方体的性质判断；对于BD，利用空间向量判断；对于C，利用体积公式求解即可.
【详解】对于A：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于B：，
设平面的法向量为，则，
令，则，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，故B正确；
对于C：，所以三棱锥的体积为，故C错误；
对于D：，直线BC与平面所成的角为，，故D错误.
故选B.
8．【答案】C
【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误.
【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为,
则满足，可得，
此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，所以，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为，
易知时，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则；
所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以，
易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误；
综上所述，正确的结论为②③.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法：
（1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；
（2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值.
9．【答案】BD
【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误；
设，
B选项：由，则，且，
则，，
又，所以当时取最小值为，B选项正确；
C选项：，，，
所以，C选项错误；
D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足，
且与互为共轭复数，由可知，
则，即，D选项正确；
故选：BD.
10．【答案】ABD
【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得.
【详解】选项A：
如图连接交于，连接，
由题意可知为的中点，又为的中点，故，
又平面，平面，故平面，故A正确；
选项B：由题意为等边三角形，为的中点，
故,
又棱柱为直三棱柱，故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正确；
选项C：
如图建立空间直角坐标系，则，，，
因，故A3,0,0，
所以，，
设异面直线与所成角为，则
故C错误；
选项D：由题意平面的一个法向量为，
，，，
设平面的法向量为，则
，即，设，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，则，
故，
故，故D正确，
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，连接并延长，与所在直线交于点，连接，交于点，交直线于点，连接，交于点，连接，如图所示，则正方体被平面截得的截面为六边形，
连接，则，
因为为正方体，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又分别为棱的中点，所以，
所以，则点为中点，，
同理可得，，
所以六边形为正六边形，则，故A正确；
对于B，由A可知，平面即为平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，连接，取中点，连接，如图所示，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，令，则，
因为，所以，所以平面，
又平面，所以，
因为，，
所以，
所以点的轨迹为以为圆心半径为的圆，点的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为，所以为靠近的三等分点，则，
连接，由，，得，
所以，所以关于平面的对称点为点，
所以，故C正确；
对于D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体，在平面，以为对角线作正方形，连接，则是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1，
所以，
因为，
所以，故D正确；
故选：ACD．
12．【答案】4
【详解】是实系数一元二次方程的根，
也是实系数一元二次方程的根，
，，
解得，，故.
故答案为：4
13．【答案】
【详解】由，得，解得，
又，得，解得，
所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.
故答案为：.
14．【答案】/
【详解】如图，以A为坐标原点，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∴
则，
若是平面的一个法向量，
则
可得，
若是平面的一个法向量，
则可得
由平面平面，得，
即，
解得．
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为，，
所以，，
又，所以，得到.
（2）因为，又，所以，解得或，
所以的坐标为或.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（2）依题意，平面的法向量为，且平面过点，由，得，
所以点到平面的距离为.
17．【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）连结，因为点是的中点，则，
则点是的中点，且是的中点，
所以，
且平面，平面，
所以平面；
（2）如图，建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的法向量，
，令，则，，
则平面的法向量，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以.

二面角的平面角的正切值为
18．【答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）由题知，因为为圆的直径，所以，
又，所以，
因为为的中点，所以，
由圆台性质可知，平面，且四点共面，
因为平面，所以，
因为是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以.
（2）圆台的体积，其中，
解得或(舍去).
由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以.
设平面的一个法向量为，
则解得
于是可取.
设直线与平面的夹角为，
则，
故所求正弦值为.
19．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小.
（2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.
【详解】（1）取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（2）连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
【方法总结】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角．
2024-2025学年山东省日照市五莲县高二上学期10月月考数学
检测试题（二）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章至第二章2.4.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，.若，则（ ）
A.4B.C.8D.
2，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A.B.C.D.
3，若直线：与直线：垂直，且直线：与直线：垂直，则（ ）
A.1B.C.2D.
4.若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
5.在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
7.在四面体中，为的外心，底面，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.已知，直线：，过点作的垂线，垂足为，则点到轴的距离的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9.已知集合，，，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知一组数据为1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，则（ ）
A.这组数据的中位数不可能为3
B.当这组数据的众数为1时，
C.当时，这组数据的方差为1.25
D.当这组数据的平均数为2.2时，的最小值为
11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，则（ ）
A.当为底面的中心时，
B.当时，长度的最小值为
C.当时，长度的最大值为6
D.当时，为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.若复数满足，则的虚部为______，______.
13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
14.已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，求；
（2）若，，求的面积.
16.（15分）
如图，在正六棱柱中，为的中点.设，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若，求的值.
17.（15分）
已知圆经过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）若一条光线从点射向直线，经该直线反射后经过圆上的点，求该光线从点到点的路线长的最小值.
18.（17分）
如图，已知，，，四点均在直径为6的球的球面上，，，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上运动.
（1）证明：平面.
（2）设平面与平面的夹角为，求的最大值.
19.（17分）
过点作斜率分别为，的直线，，若（），则称直线，是定积直线或定积直线.
（1）已知直线：（），直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由.
（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上.若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标.
（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围.
高二数学参考答案
1. D 根据题意可得，解得.
2. A 易得.
3. B 由得.
4. D 根据题意可得解得或.
5. B 将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，，
根据题意可得该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种，
其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的情况有3种，故所求概率为.
6. C 设，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（图略），
则.在图①中，，，，则，，
所以，满足；在图②中，，，，
则，，所以，满足；
在图③中，，，，则，，
所以，不满足.
7. C 设四面体的外接球为球，其半径为，外接圆的半径为.
由正弦定理得，则.
由，，得，解得，
所以球的表面积为.
8. B 由，得.
令解得即过定点，所以点在以为直径的圆上，
其中圆心，半径为.因为圆心到轴的距离为4，
所以点到轴的距离的最小值为.
9. AC 由题意得，
，所以，A，C正确，B，D错误.
10. BCD 当时，这组数据的中位数为3，A错误.
当这组数据的众数为1时，若，则这组数据的众数为3，这与这组数据的众数为1矛盾，
所以，B正确.当时，，，，，C正确.
当这组数据的平均数为2.2时，，则，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
11. BCD 连接，.设与交于点，
则.
当为底面的中心时，.
因为，所以，，所以，A错误.
当时，点在平面内，则长度的最大值为6，
长度的最小值即到平面的距离.设到平面的距离为，
则，
解得，B，C均正确.因为，
所以在底面上，且，则，
得，D正确.
12.； 依题意得，
则的虚部为，.
13. 依题意得，
设异面直线与所成的角为，因为，
所以
.
14. 因为的定义域为，
，
所以为奇函数.因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为为奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以不等式即为，则.
因为，所以，即.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
15.解：（1）因为，所以.
因为，
所以，
则或（舍去），所以.
因为，所以.
（2）由（1）得.
因为，所以，解得，
所以，，，
所以.
故的面积为.
16.解：（1）.
（2）由题意易得，，
则
.
17.解：（1）设圆的标准方程为（）.
代入，，的坐标，得
解得所以圆的标准方程为.
（2）设点关于直线对称的点的坐标为，
则
解得即.
由（1）可得圆的圆心为，半径，
则该光线从点到点的路线长的最小值为.
18.（1）证明：由题意可知为球的直径，所以，.
又因为，所以，
，所以平面，
平面，所以，
，所以平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系.
根据题意可得，，，
则，，
所以，，，，
，，
则，，，
设平面的法向量为，
则取.
设（），
则.
设平面的法向量为，
则取.
.
令，，，
则，
当，即，时，取得最大值，最大值为.
19.解：（1）由题意可得，
由得
故存在点，使得，是定积直线，且.
（2）设直线的斜率为（），则直线的斜率为，直线的斜率为.
依题意得，得，即或.
直线的方程为，因为点在直线上，所以.
因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由得即点的坐标为.
（3）设直线：，直线：，其中，
则
，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，故的取值范围为