2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高二上学期第一次月考数学检测试卷合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高二上学期第一次月考数学检测试卷合集2套（附解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．3D．
7．已知，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点到平面的距离为定值
C．当时，点在以的中点为端点的线段上
D．当时，平面
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 .
13．在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为 ．
14．在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，正方体的棱长为2.

(1)用空间向量方法证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知的三个顶点是，，.
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程.
17．平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
18．如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥．
(1)求证：四点共面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】解：因为直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则有，解得，
所以其倾斜角为．
故选：A．
2．【答案】B
【详解】因为，，所以，
故选:B.
3．【答案】C
【详解】
,
故选：C.
4．【答案】C
【详解】当时，，所以，
则，解得，．
故选：C．
5．【答案】B
【详解】若，则有，解得，
当时，，不重合，符合要求；
当时，，不重合，符合要求；
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．【答案】D
【详解】因为，，，所以，，
则，，，所以，
又因为，所以，
则以，为邻边的平行四边形的面积.
故选：D
7．【答案】C
【详解】易知，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
故选：C．
8．【答案】D
【详解】如图所示，在正三棱锥中，，
可得，
因为点分别是棱的中点，
可得，，
所以
．
故选：D．

9．【答案】AD
【详解】由图可得，，故A、D正确.
故选：AD.
10．【答案】AC
【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.
【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；
对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；
对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；
对于D项：，
所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选：AC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，
又，所以即，又，
所以三点共线，故点在上，故A错误；
对于B，当时，，
又，所以即，又，
所以三点共线，故点在棱上，
由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确；
对于C，当时，取的中点的中点，
所以且，，即，
所以即，又，
所以三点共线，故在线段上，故C正确；
对于D，当时，点为的中点，连接，
由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，又，
所以，所以，
所以，
设与相交于点O，则，即，
又，平面，
所以平面，因为平面，
所以，由正方形性质可知，
又，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD.
12．【答案】或
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：y=2x或．
13．【答案】2
【详解】由题意得，所以
所以的面积为，
点都在平面上，点到平面的距离3，
所以三棱锥的体积为．
故答案为：
14．【答案】
【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为点，分别为棱，的中点，所以，，
设，，其中，，
则，.
因为，则，解得，
又因为，，则，
可得，
所以，此时，即线段的长度的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，即；
又，即，
又平面，
所以平面；
（2）易知，则，
由（1）知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率，
所以，所以，
故所求直线方程为，即.
（2）由题意得，，
所以，则为等腰三角形，
的中点为，故，
由等腰三角形的性质知，为的平分线，
故所求直线方程为，即.

17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1），，，
，
∴
，
；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接交于点，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，所以，
又平面，
所以平面；
（2）以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以，则，
设平面的法向量，
由，令，则，
即可得平面的一个法向量，
由轴平面，故为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值是．

19．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，．
【详解】（1）证明：因为平面平面，
所以．
因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，
则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
根据题意，得．
所以．
因为，
所以共面，
又有公共点，
所以四点共面．
（2）解：存在，理由如下：
，则，
设m=x1,y1,z1为平面的法向量，
则，即，令，
得平面的一个法向量为．
假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
令，
则，
设n=x2,y2,z2为平面的法向量，则，
即，
令，得平面的一个法向量为．
设平面与平面所成角为，
则．
化简整理，得，因为，所以，
所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时．
2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高二上学期第一次月考数学检测试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．1或B．或2C．1或D．或
3．已知复数为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
5．如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．1B．C．D．
6．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7B．36.3，36.8C．36.25，36.7D．36.25，36.8
7．已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
10．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
11．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则是钝角三角形
D．若不是直角三角形，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数z满足（i为虚数单位），则 ．
13．在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 ．
14．已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量．
(1)求；
(2)设向量的夹角为，求的值．
16．近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立.
(1)求乙通过考核的概率；
(2)求甲乙两人考核的次数和为的概率.
17．为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：80,90，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
(1)求的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表）
(2)从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.
18．如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是上的动点，M是线段OA上的一点，且．

(1)若，求PM的长；
(2)求的面积最大值．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据复数的运算的基本概念和性质，即可求出结果．
【详解】由题意可知, .
故选B．
2．【答案】A
【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】由，有，解得或．
故选A.
3．【答案】B
【分析】根据复数对应点在第一象限的条件为实部虚部都大于零，解得,然后根据充分、必要条件的概念，判定即可.
【详解】若复数在复平面内对应的点位于第一象限，必有，可得.
“a>0”是“”的必要不充分条件，
∴“a>0”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限”的必要不充分条件.
故选B.
4．【答案】D
【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.
【详解】由和对立，，可得，解得，
又由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得.
故选D.
5．【答案】C
【分析】设球的半径为，根据公式分别求出球的表面积和圆柱的表面积的表达式，求出两者比值即可.
【详解】设球的半径为R，所以球的表面积.
圆柱的表面积，
所以该圆柱的表面积与球的表面积之比.
故选C.
6．【答案】B
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】，故从小到大，选取第3个数据作为高三（一）班这组数据的第25百分位数，即36.3；
，故从小到大，选取第8个和第9个数据的平均数作为第80百分位数，
即.
故选B．
7．【答案】A
【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解．
【详解】当时，，得（舍），
当时，，得，
当时，，得（舍），
所以，
从1，2，3，5，4中任取2个数结果:
共10种，
符合题意，共4种，
所以概率为．
故选A．
8．【答案】B
【分析】延长交于点M，延长交于点N，转化为求解最值即可．
【详解】延长交于点M，延长交于点N，
如图所示：
根据正八边形的特征，可知，
又，
所以，，
则的取值范围是．
故选B．
9．【答案】BD
【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断．
【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确；
“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误；
“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确．
故选BD．
10．【答案】BC
【分析】对于A，根据条件得到或，即可求解；对于B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；对于C，由面面平行的性质，即可求解；对于D，在正方体中，通过特例，即可求解.
【详解】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或，又，则，故B正确；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：在正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，但，
故D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】由正弦定理及余弦定理判断A,B,C项，由两角和的正切公式判断D项．
【详解】因为，由正弦定理得
，即，所以或，
即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
因为由正弦定理得，故B正确；
因为，由正弦定理得，
所以，所以，所以是钝角三角形，故C正确；
由不是直角三角形且，得，所以，故D正确．
故选BCD．
12．【答案】
【分析】由复数的除法运算及模运算求解．
【详解】，
故．
故答案为：.
13．【答案】
【分析】依题意得，由求解
【详解】若恰有两解，则，解得，
即边长度的取值范围为．
故答案为：.
14．【答案】
【分析】首先求出球的半径，依题意可得的外接圆的半径为，即可求出点到平面的距离，设，由勾股定理可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.
【详解】设球的半径为，则，所以，因为，
所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为，
设，则，所以，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的体积的最大值为．
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模；
（2）直接利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）由可得，，
即，
所以，
所以；
（2）因为，
所以．
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解；
（2）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解.
【详解】（1）乙第一次考核通过的概率，
乙第二次考核通过的概率为，
乙通过考核的概率为；
（2）甲考核1次，乙考核2次的概率；
甲考核2次，乙考核1次的概率；
甲乙两人的考核次数和为3的概率.
17．【答案】(1)，平均数为，中位数；
(2).
【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，即可求解出；再用每一组区间的中点值代表该组数据，分别乘以每个小矩形的面积，计算平均数；最后计算中位数，即将频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与轴交点的横坐标.
（2）分别求出在区间，内抽取的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式即可求解.
【详解】（1）由题意知，解得，
所以数学成绩的平均数为
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
（2）由题意知，抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，
记在内的4人为，，，，在内的1人为，
从5人中任取3人，有，，，，，，，，，，共10种选法，
选出的3人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共6种选法，
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得，利用平方关系求出，再由两角差的正弦得到，最后由正弦定理可得答案；
（2）设，由余弦定理得，再利用基本不等式得可得答案．
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
又，所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）设，
则在中，由余弦定理得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，
即的面积最大值为．
19．【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面角的定义找出直线与平面所成角，即可求解.
【详解】（1）连接，交于点，连接，如图所示.
因为，易得，所以，
又，，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）取中点，连接交于点，连接，
则，且，所以四边形是平行四边形，
为中点，.因为平面，
所以直线是直线在平面内的射影，
所以是直线与平面所成的角，
即为直线与平面所成角的平面角.
如图所示，过点作，垂足为，连接，
因为，所以,易得，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，所以，
在直角中，由平面平面，则，解得，
所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.
【方法总结】计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.