2024-2025学年河南省安阳市林州市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省安阳市林州市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析），共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．正方体的棱长为1，则（ ）
A．1B．0C．D．2
3．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．
5．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．B．3C．4D．5
7．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
8．现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A．B．C．6D．12
二、多选题（本大题共3小题）
9．直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ）
A．－8B．－5C．3D．4
10．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A．存在点，使得B．若为等腰三角形，则点的个数是3个
C．的最小值为D．最大值为3
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知空间向量，若共面，则 .
13．经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 .
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．计算：
(1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量；
(2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量．
16．如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.
(1)以为基底表示；
(2)若，且，，，求.
17．已知两条直线，
(1)当为何值时，与相交;
(2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值.
18．已知空间四点，，，.
(1)若向量与互相垂直，求实数的值：
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积：
(3)若D点在平面上，求实数n的值.
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
(1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
(3)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
参考答案
1．【答案】C
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2．【答案】A
【详解】,
故选：A
3．【答案】A
【详解】.
故选：A.
4．【答案】C
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选：C.
5．【答案】D
【详解】由题意可求得直线的方程为，所以原点O到l的距离为．
故选：D.
6．【答案】A
【详解】因为，，
所以，即，解得.
故选：A.
7．【答案】B
【详解】因为两直线交于，
则，即，且，则；
由原点到直线的距离
由，
则，当且仅当时，取最大值，此时.
即两直线重合时，原点到直线的距离最大.
故选：B.
8．【答案】A
【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系，
过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，
所以圆弧的长度为：，，
则，
同理，过向圆O作垂线垂足为，则，
所以.
故选：A.
9．【答案】AD
【详解】解：由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，
时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
10．【答案】AC
【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
，，
.
故选：AC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时，
则，即与不垂直；
当PN斜率不存在时，，此时，
则，即与不垂直；
当且时，，，
若，则，即，
由于，方程无解，故与不垂直；
综合可知不存在点，使得，A错误；
对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上，
则P点横坐标为，此时；
当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为，
故直线l上必存在两点满足，设这两点为，
由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2，
故和M，N不共线，适合题意，

由于N点到直线：的距离为，
故以N点为顶点的等腰不存在，
综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确；
对于C，设点关于直线l的对称点为，
则，解得，即，
故,
当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号，

即的最小值为，C正确；
对于D，如图，，
当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立，

即最大值为3，D正确，
故选：BCD
12．【答案】0
【详解】因为共面，所以，即，
则.
故答案为：0.
13．【答案】或
【详解】联立，解得，
所以直线与的交点坐标为，
由已知所求直线的斜率存在且不为，
故可设所求直线方程为，其中，
令，可得，即所求直线在轴上的截距为，
令，可得，即所求直线在轴上的截距为，
由已知可得，
所以，
所以或，
所以所求直线方程为或.
故答案为：或.
14．【答案】
【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
所以，
当时，最小，此时，为中点，则，
取的中点，连接，则，
因为，，所以，，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是，
所以平面与平面夹角的正弦值是．
15．【答案】(1)方向向量为，法向量为
(2)方向向量为，法向量为
【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为.
因为直线的一个方向向量为，其中，，则，
所以，直线的一个法向量可为.
本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为，
直线的法向量为.
（2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为，
所以，直线的方向向量为，法向量为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可得，;
（2）由题意，，
则，
于是，由两边取平方，
，
故.
17．【答案】(1)，且，且
(2)
【详解】（1）依题意，得，
得，
得，且，且．
（2），
得，得，
得过定点，又因为也经过点，
得，得．
当时，与重合，故舍去，
故．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，，，
所以，，，
所以，，
因为向量与互相垂直，所以，
化简得，解得，
（2）因为，，且设夹角为，
所以，而恒成立，
所以，而，，
所以平行四边形的面积为，
（3）因为D点在平面上，所以四点共面，
所以共面，而由题意得，，，
故存在，使得，所以，，
，解得，故实数n的值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为
【详解】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
（2）设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．
（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．

2024-2025学年河南省安阳市林州市高二上学期9月月考数学
检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量BC=2,1 ，AB=0,−1 ，则AC= （ ）
A．2B．3C．2 D．22
2．已知空间直角坐标系中的点关于轴的对称点为，则的值为（ ）
A．B．4C．6D．
3．已知直线：与直线：，若，则（ ）
A．B．2C．2或D．5
4．已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
5．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）

A．存在点E，使平面
B．三棱锥的体积随动点E变化而变化
C．直线与所成的角不可能等于
D．存在点E，使平面
6．已知正方体的棱长为，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面四个结论中正确的个数是（ ）
①与一定不垂直 ②二面角的正弦值是
③的面积是 ④点到平面的距离是常量
A．B．C．D．
7．若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．B．三棱锥的外接球的体积为
C．点P到平面DEF的距离为D．二面角的余弦值为
10．已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A．；B．
C．；D．
11．已知圆：和直线，则（ ）
A．直线与圆的位置关系无法判定
B．当时，圆上的点到直线的最远距离为
C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D．如果直线与圆相交于、两点，则的中点的轨迹是圆的一部分
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量，满足与的夹角为，且，则对一切实数的最小值是 ．
13．如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= .
14．设直线2x－y－＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的三个顶点分别为，，，其中点在直线上
(1)若，求的边上的中线所在的直线方程：
(2)若，求实数的值．
16．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列.
(1)求的正交点列；
(2)判断是否存在正交点列？并说明理由.
17．如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的大小.
18．设直线的方程为.
(1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P；
(2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长；
(3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.
19．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．

(1)证明：；
(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得AC=2,0 ，再求其模.
【详解】根据题意，AC=AB+BC=0,−1+2,1=2,0 ，
所以AC=22+02=2 .
故选A.
2．【答案】D
【详解】因为关于轴的对称点为，所以，
所以，
故选：D.
3．【答案】A
【详解】若 , 则，
所以 或 .
当 时, 重合, 不符合题意, 所以舍去;
当 时, 符合题意.
故选:.
4．【答案】D
【详解】设圆心,由得，化简得，即圆心在直线运动，圆心到原点距离的最小值即原点到直线的距离，故最小值为，
故选：D
5．【答案】D
【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则，
由在线段上运动，设（），则，
平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误；
，设直线与所成角为，则，
显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误；
设平面的法向量为m=x,y,z，，
则，令，得，
当时，，因此平面，D正确；
点在正方体的对角面矩形的边上，则，
而平面平面，则，又，
可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误.
故选：D
6．【答案】C
【详解】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设、，其中，设点，其中，
易知点，、、、、、
、、，
对于①，，，则，
当点与点重合时，即，此时，即，故①错；
对于②，因为，，故平面即平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面即为平面，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以，，
则，
因此，二面角的正弦值是，故②对；
对于③，，，
所以，点到直线的距离为，
所以，，故③对；
对于④，由②知，平面的一个法向量为，
所以，点到平面的距离为，④对.
故选：C.
7．【答案】C
【详解】由题意可知，
若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，等价于圆和圆相交，
则圆心与原点之间的距离为，
，即，解得或，
实数的取值范围是.
故选：C.
8．【答案】A
【详解】∵直线与直线 平行，线段的中点为，
，化简可得
解得，
设 ，
，即
故选：A
9．【答案】AC
【详解】对于A选项，作出图形，
取EF中点H，连接PH，DH，由原图知和均为等腰三角形，故，，又因为，所以平面PDH，
又平面PDH，所以，A正确；
由PE，PF，PD三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R，则，则，所以所求外接球的体积为，B错误；
根据题意，可知PE，PF，PD三线两两垂直，且，，在中，，，由等积法可得，得，C正确；
由题意如上图，，，则，，所以∠PHD为二面角的一个平面角，因为，，且，所以平面PEF，则，即，在中，，D不正确．
故选：AC.
10．【答案】ACD
【详解】由题意可知，，，两两垂直，所以，
对于A选项，
，
，故，所以A选项正确；
对于B选项，，
当时，，否则不成立，所以选项B不正确；
对于C选项，
，所以选项C正确；
对于D选项，，同理可得，，
所以，选项D正确，
故选：ACD
11．【答案】BCD
【详解】圆：，即，圆心为，半径为.
直线，即，
当时，，所以直线过定点.
，所以点在圆内，所以直线与圆相交，A选项错误.
时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最远距离为，B选项正确.
若圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为，
即，C选项正确.
对于D选项，直线与圆相交于、两点，设的中点Px,y，则，
则，即点的轨迹是以为直径的圆.
由于直线的斜率存在，所以点的轨迹是以为直径的圆，且除去与直线的交点（以外的另一点），所以D选项正确.
故选：BCD

12．【答案】
【详解】由题知，则，
则，故若使取最小值，
则只需向量与向量反向，
即
，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：
13．【答案】11
【详解】取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设
因为二面角为60°，所以
则.
设，则
从而
整理得，解得(舍)，
故.
故答案为：
14．【答案】或
【详解】依题意令x＝0,得P（0，﹣3），
（x+1）2+y2＝25圆心C（﹣1，0），
∴|CP|＝＝2，∵半径为5，
∴其长度之比＝＝或＝，
故答案为或．
15．【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）当时，，AB的中点为，
则，由直线的点斜式方程得MC的方程为
，即；
（2）设，，则，
当时，，即，解得.
16．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设点列的正交点列是，
由正交点列的定义可知，
设，
由正交点列的定义可知，
即，解得
所以点列的正交点列是.
（2）由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设
因为与与相同，所以有
因为得方程，显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列.
17．【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明.
（2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

所以，设，
则，解得，即.
则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
因为，设平面的一个法向量为，
所以即，令，解得，
所以平面的一个法向量为，
又，所以平面平面；
（2），
所以.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，解得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
，
所以平面和平面夹角的大小为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)见解析.
【详解】（1）由得:
；
则，解得
所以不论为何值，直线必过一定点；
（2）由得，
当时，，当时，，
又由，得，
∴
,
当且仅当，即时取等号
∴，，
∴的周长为；
（3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，
即，均为整数，
所以，均为整数，∴，，，，，0，，2，
又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线的方程为，，，，，，，.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）设，则为的中点，连接，
因为为菱形，则，
又因为，且为的中点，则，
，平面，所以平面，
且平面，则，
又因为∥平面，平面，平面平面，
可得∥，所以.
（2）因为，且为的中点，则，
且，，平面，所以平面，
可知与平面所成的角为，即为等边三角形，
设，则，且平面，平面，
可得平面，平面，
且平面平面，所以，即交于一点，
因为为的中点，则为的重心，
且∥，则，
设，则，
如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.