天津市第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份天津市第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了 已知，则的值是， 如果随机变量，且，则， 若，则等于， 已知函数，则在处的切线方程为， 函数是减函数的区间为， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
2. 如果随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性求解即可.
【详解】因为随机变量，所以，
所以.
故选：.
3. 以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案.
【详解】对于，散点呈上升趋势，线性相关系数为正数，这些点紧密的聚集在一条直线的附近，线性相关性强；
对于，散点分布呈曲线趋势，线性相关程度比弱；
对于，散点呈下降趋势，线性相关系数为负数；
对于，散点分布比较分散，线性相关程度比弱；
所以相关系数最大的是.
故选：
4. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照求导法则和公式求解即可.
【详解】
故选：A
5. 已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求导，将代入导函数可得切线的斜率，将代入原函数可得切点的纵坐标，根据点斜式方程求解切线方程.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以在处的切线方程为，
即.
故选：.
6. 函数是减函数的区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的解后可得函数的减区间.
【详解】，令，则，
故函数的减区间为，
故选：B.
7. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得服从二项分布，根据二项分布方差的计算方法求解即可.
【详解】因为，所以服从二项分布，
所以.
故选：.
8. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对函数求导，将代入导函数求得斜率，根据两直线垂直斜率的关系求解即可.
【详解】因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
所以.
故选：.
9. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求导，根据已知可得在上恒成立，求解即可.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，所以，
所以a的取值范围为.
故选：.
二.填空题(每小题4分，共计24分)
10. 已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，由已知根据条件概率的计算公式求解即可.
【详解】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，
因为，，
所以.
故答案为：.
11. 已知，，则_________.
【答案】##
【解析】
分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
12. 已知随机变量的分布列为
则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据期望的公式求出，再根据期望的性质即可计算．
【详解】因
所以
故答案为：
13. 已知函数，当时有极大值3，则_______; _______.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】先求导，根据已知条件列方程组求解，，然后代入解析式验证即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在时有极大值3，所以，所以，
解得，
所以，所以，
令，可得或，
当或时，，函数在和上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，符合题意，
所以，.
故答案为：；.
14. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】从甲乙丙三个盒子中各取一个球这三个事件相互独立，根据独立事件同时发生的概率公式求解即可；设甲乙丙三个盒子中球的总数分别为，，，分别求出三个盒中白球的个数，根据古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】由已知可得三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
设甲乙丙三个盒子中球的总数分别为，，，
甲盒中白球的数量为，
乙盒中白球的数量为，
甲盒中白球的数量为，
三个盒子中球的总数为，白球总数为，
所以三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.
故答案为：；.
15. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．
【详解】解：由题意得，函数f（x）＝x3﹣6bx+3b 的导数为 f′（x）＝3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且 f′（0）＜0，f′（1）＞0． 即﹣6b＜0，且 （3﹣6b）＞0．
∴0＜b，
故答案为：．
点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．
三.解答题(共计40分)
16. 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球.
（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（2）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可；
（2）由已知可得的可能取值，然后分别计算概率即可得分布列，根据数学期望的计算公式求解即可.
【小问1详解】
从个球中任取个球，总的基本事件个数为，
若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种：
红白，包含的基本事件个数为，
红黑，包含的基本事件个数为，
所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为；
【小问2详解】
由已知可得的可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为
.
17. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数，的值
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】（1），
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解；
（2）由（1）知，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数值与极值比较即可求解最值.
【小问1详解】
因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，所以，
解得，经检验，符合题意，
所以，；
【小问2详解】
由（1）知，所以，
令，得或，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数的极小值为，极大值为，
又，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
18. 已知 函数
（1）若， 求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性
【答案】（1）
（2）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
【解析】
【分析】(1)先求出导数，从而求出即为切线的斜率，再求出，最后利用点斜式方程写出切线方程并化为一般式；
(2)求出函数的导数，令，通过讨论两根的大小，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可.
【小问1详解】
当时，，，
，又，
曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
，
，
令，则或，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，
在，上单调递增，在上单调递减；
当时，令，解得或，令，解得，
在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
1
2
3
4
5
0.1
0.3
04
0.1
0.1