山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题

这是一份山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题，共17页。试卷主要包含了 曲线在点处的切线方程为， 已知，则， 设函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则从到的平均变化率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义计算可得.
【详解】.
故选：B.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的运算法则求出导数，进而求出导数值.
【详解】函数，求导得，
所以.
故选：C
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可.
详解】由，则，而，
所以点处的切线方程为，即.
故选：A
4. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于-1，结合的范围，得到答案.
【详解】，设，
则曲线在点处切线斜率为，
则，又，切线斜率存在，故，
则.
故选：B
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，得到最大，再变形，利用的单调性比较的大小即可.
【详解】因为，设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减.
所以在时取到最大值，
所以，即.
因为， ，
又因为，所以，
因在上单调递增，
所以，即，所以.
故选：A
6. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出函数的导函数，根据在区间上单调递增，得出，利用导数求出的最小值，从而求出是的最大值.
【详解】由已知可得，
因为在上单调递增，
所以即在上恒成立，
设hx=exxx>0，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，
即的最大值为.
故选：C
7. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则恰有2个零点
B. 若恰有2个零点，则的取值范围是
C. 若恰有3个零点，则的取值范围是
D. 若，则恰有3个零点
【答案】D
【解析】
【分析】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断.
【详解】
令，则
∴时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
∴有极大值：，极小值：，且，
∴大致图像如下：
对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误.
对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误.
对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误.
对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A. 在这段时间里，运动员的平均速度
B. 在运动过程中运动员的瞬时速度
C. 在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0
D. 第时刻瞬时速度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过计算函数在某区间的平均变化率判断选项，求出函数的导数，即瞬时速度来判断选项.
【详解】选项：，所以选项正确；
选项：对函数求导得：，所以选项正确；
选项：令，解得：，即在起跳到落水的过程中运动员的速度可以为0，所以选项错误；
选项：把代入，得，所以选项正确.
故答案为：.
10. 设函数，则（ ）
A. 当时，有两个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 当时，点为曲线的对称中心
D. 当时，在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性.
【详解】已知，所以,
当时，，方程有两个根，所以正确，
当时，的解集为，的解集为，
所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误,
当时，，
所以关于中心对称，所以正确，
当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确.
故选：
11. 已知函数，有如下结论，其中正确的结论是（ ）
A. 当时，在区间上单调递减
B. 在点处的切线方程为
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，有两个极值点
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，求出，由条件判断即可；对于B，利用导数的几何意义求出切线斜率，可得其切线方程；对于C，先求得，设，通过求导判断的单调性，当时，推得，即可判断其单调性；对于D，先将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，由图判断交点情况，推理即可判断的极值点情况.
【详解】，，
对于A，因为，所以，由可得，
则在上单调递减，故A正确；
对于B，,故在点处的切线方程为，
即,故B错误；
对于C， ，令 ，则，
当 时，令 ，解得，
当 时， ，则 在上单调递减，
当 时， ，则 在上单调递增，
所以，
即 ，故 在上单调递增，故C错误；
对于D，令，得，
令，，
当，则，当，则，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当，，
又当趋近于时，趋近于，，
当趋近于时，趋近于0，
可作出函数的大致图象如图所示，

由图可知，当时，直线与的图象有两个交点，
即方程有两个不等实根，
当或时，， 当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
故有两个极值点，所以D正确.
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 用中的任意一个数作为分子，中的任意一个数作为分母，可构成__________个不同的分数.
【答案】16
【解析】
【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；
【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母，
可构成个不同的分数；
故答案为：16.
13. 若直线为曲线的切线，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设点并写出曲线的切线方程，再比较两个方程的斜率与截距可得到与的方程组，解方程即可得到的值
【详解】因为，所以，
设切点为，则切线方程为，
化简可得，
又因为是曲线y的切线，所以，
解得.
故答案为：.
14. 已知函数定义域为为的导函数，且对任意的恒成立，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构造，根据已知及导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式，即可得答案.
【详解】令，则，而对任意的恒成立，
所以在上恒成立，故在R上单调递减，
又，则，即，
所以不等式解集为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.
（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
【答案】（1）63；（2）32
【解析】
【分析】（1）对于去几人进行分类讨论，最后根据加法计数原理求解即可；（2）对甲和乙两位同学要么都去，要么都不去进行分类讨论，分别计算去法种数，最后相加即可.
【详解】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，
去1人时，有种去法；去2人时，有种去法；
去3人时，有种去法；去4人时，有种去法；
去5人时，有种去法；去6人时，有种去法；
根据分类计数原理得：共有种去法；
（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，
则有种去法；
当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；
根据分类计数原理得：共有种去法；
16. 已知函数.
（1）当时，求过原点的切线方程；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设出切点，求导，写出切线方程，结合切线过原点可求答案；
（2）求导，分情况讨论导数的符合，可得函数单调性.
【小问1详解】
由题意知，的定义域为，则，
当时，，设切点为，则切线方程为
，即，
又因为切线过，代入切线方程得，
即，解得，所以切线方程为.
【小问2详解】
，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
所以，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，①当时，上单调递增；
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.
详解：
（1）有题意可知，当时，，即，
解得，
所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.
18. 已知函数.
（1）当时，证明恒成立；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，确定最小值，证明出；
（2）求定义域，求导，得到的单调性，故极小值，根据，即，构造，求导，得到单调性，又因为，所以等价于，解得，故的取值范围为.
【小问1详解】
当时，，定义域为R，
，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在定义域内有唯一的极小值，即为最小值，
所以；
【小问2详解】
因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；
令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
令，则，
所以在内单调递增，
又因为，所以不等式等价于，解得，
所以的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数零点的个数；
（2）求函数的极值；
（3）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）有唯一的零点
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得解；
（2）求导，再分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，再结合极值的定义即可得解；
（3）利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解.
【小问1详解】
的定义域为，
当时，在上单调递减，
又因为，
由零点存在定理，在区间内存在零点，
所以在上有唯一的零点；
【小问2详解】
，
则，
①当时，令，得，
当变化时，的变化情况如下表
所以有极大值，没有极小值；
②当时，令，得，
当即时，
当变化时，的变化情况如下表
所以的极小值为，极大值为；
当即时，没有极值；
当即时，
当变化时，的变化情况如下表
所以的极小值为，极大值为；
综上所述，
当时，有极大值，没有极小值；
当时，的极小值为，极大值为；
当时，没有极值；
当时，的极小值为，极大值为；
【小问3详解】
恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
又因为，
所以，当时，，不符合题意；
当时，令，则，令，则，
所以函数得在上单调递增，在上单调递减，
所以，只需，即，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使，只能，即，
综上，要使不等式恒成立，.
1
+
0
单调递增
单调递减
1
0
+
0
单调递减
单调递增
单调递减
1
0
+
0
-
单调递减
单调递增
单调递减