河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在处的导数等于（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，进而求出导函数的值.
【详解】函数，求导得，所以.
故选：A
2. 下列求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数四则运算法则与导数运算公式逐项计算可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：B．
3. 如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据极大值点的定义结合图象判断即可.
【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，
选项中只有符合.
故选：．
4. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据求导运算法则和基本初等函数求导公式直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以．
故选：D
5. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则计算可得结果.
【详解】设，则，
∴，即，
∴.
故选：D.
6. 若函数是增函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意得到恒成立，接着参变分离得到恒成立，最后根据基本不等式求出最小值即可.
【详解】，因为是增函数，所以，
即对恒成立，所以，
又时，，当且仅当时取等号，所以．
故选：A．
7. 若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数确定的零点的个数，进而利用导数确定的极值，进而由，求解即可.
【详解】由，得，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以上单调递减，
又，所以只有一个零点．
由，可得，
令，得或，，，
若只有1个零点，则，所以或．
故选：C．
8. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线与，的切点分别为，，求导，写出切线的斜率和切线方程，联立即可求出切点坐标，进而得到切线方程.
【详解】已知直线是，的公切线，设切点分别为，．
由，得，所以的斜率为，
方程为，即，
由，得，所以的斜率为，
方程为，即，
因为直线是的公切线，
所以解得
所以直线的斜率为，与的切点为，
所以直线的方程为.
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是（ ）
A. 函数值减少了6B. 函数的平均变化率为2
C. 函数在处的瞬时变化率为D. 函数值先变大后变小
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义判断A、B，求出函数的导函数，根据导数的定义判断C，求出函数的单调区间，即可判断D.
【详解】因为，所以，
所以函数值减少了，函数的平均变化率为，故A正确，B错误；
又，所以，即函数在处的瞬时变化率为，故C正确；
当时，；当时，；当时，，
所以 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以当自变量从变为时，函数值先变小，后变大，再变小，故D错误.
故选：AC.
10. 已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，若线段取得最小值n时，P点横坐标为m，则（ ）
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据在点处的切线与直线平行，求出点坐标，求得，再由点到直线的距离公式求解.
【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，
因为，于是．所以，，此时，即，
点P到直线的距离为，即.
故选：BD.
11. 已知定义域为的函数的导函数为，与都是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 若时，，则
D. 若时，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由是偶函数，所以，两边求导得，即，即可判断选项A；设，则的图象关于点对称，且满足是偶函数，但的图象不关于直线对称，即可判断选项B；因为是偶函数，所以，设，则，所以，进而得到，求解即可判断选项C；对求导数，判断单调性比较大小即可判断选项D.
【详解】对于A，因为是偶函数，所以，
两边求导得，即，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B，设，则的图象关于点对称，
且满足是偶函数，但的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，因为是偶函数，所以，
设，则，所以，
的图象关于直线对称，时，，，
．因为的图象关于点对称，
所以，故C正确；
对于D，由时，，得gx=1−sinx>0，
又的图象关于直线对称，所以时，，单调递增，
又，故，所以f1+ln2>f32，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则____________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据导数的定义可知原式等于，通过求导可得结果.
【详解】∵，∴，
∴.
故答案为：.
13. 已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意构造函数，利用导数求得单调性，结合指对转换以及指数函数单调性，可得答案.
【详解】设，则，所以在上是增函数，
不等式可化为，即，所以．解得．
故答案为：.
14. 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其底面半径应为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得，，令，，求导得到最大值后即可得解.
【详解】设圆锥的高为，底面半径为，
由题意得，，，
，，
令，，
则，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
当时，最大即最大，此时.
故答案为：.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数思想，属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，．
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若，求函数在区间上的最值．
【答案】（1）
（2）最大值是，最小值是
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）把代入，求出函数的导数，确定单调区间并求出最值.
【小问1详解】
当时，函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程是，即.
【小问2详解】
当时，函数，，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
，因此，
所以函数的最大值是，最小值是.
16 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式即可；
（2）分两种情况：即在上恒成立，或在上恒成立。
【小问1详解】
当时，，其定义域为，
，
由，得．由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
因为， ，
当时，，
若在上没有极值点，则在上单调，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若上恒成立，则，解得，
若在恒成立，则，解得．
综上所述，a的取值范围为．
17. 已知函数在及处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验；
（2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得.
【小问1详解】
由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
【小问2详解】
由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导可得，对参数进行分类讨论得出其单调性即可；
（2）将恒成立转化为恒成立，利用导数求得函数的单调性，得出最小值即可求得a的取值范围为.
【小问1详解】
由题意知的定义域为，
，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
由，得，
即，
令，将问题转化为恒成立，
，
令，则当时，
所以也就是在上单调递增，所以.
①当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，满足题意；
②当时，即时，因为当时，，
所以存在，使得，所以存在，使得，
所以对，，所以在上单调递减，
所以，不合题意.
综上所述，满足条件的a的取值范围为.
19. 对于函数，若存在区间和，使得在上是增函数，在上是减函数，则称函数为含峰函数，为峰点，区间称为函数的一个含峰区间．
（1）判断函数是不是含峰函数？并说明你的理由；
（2）证明函数是含峰函数，并指出该函数的峰点；
（3）若实数，是含峰函数，且是它的一个含峰区间，求m的取值范围．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，利用含峰函数的定义判断；
（2）由，求导，再令和，利用含峰函数的定义证明；
（3）法1：求导，易得在区间上单调递减，由题意求解；法2：求导，令，得到，根据题意，由求解.
【小问1详解】
因为，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，
不存在先增后减的区间，
所以不是含峰函数．
【小问2详解】
证明：由，得，
令，得，；
令，得，，
所以对于任意整数k，都存在，
使函数在上是增函数，
在上是减函数，
因此，函数含峰函数，峰点为．
【小问3详解】
法1：函数的定义域为，，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递减，
即在区间上单调递减．
根据题意，存在峰点，使函数在区间上是增函数，
在区间上是减函数、
所以时，时，
因此，，
解得，故m的取值范围是．
法2：函数的定义域为，，
令，则（不合题意舍去），
由，解得．
检验：，时，
若，则．
所以此时；同理若，则，
因此函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以函数在上是含峰函数，
故m的取值范围是．