河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第七章第2节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数在复平面内对应点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数四则运算求得复数，利用复数的几何意义即可判断.
【详解】，
该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：C．
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合交集的概念求解即可.
【详解】由解得，
所以，所以，
故选：C
3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理代值计算即得.
【详解】由正弦定理，代值可得，
解得．
故选：A．
4. 中，，则一定是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状
【详解】因为中，，则，
即，，角为钝角，
所以三角形为钝角三角形
故选
【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单
5. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ）
A. 12B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积公式得到，从而得到.
【详解】因为，向量与的夹角为．所以，
所以．
故选：C．
6. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（ ）
A. 80米B. 100米C. 112米D. 120米
【答案】B
【解析】
【分析】设，则有，，在中用余弦定理求解.
【详解】设，由，，，，
知，．
在中，因，米，
由余弦定理，得，解得米．
故选：B．
7. 已知复数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。
【详解】或。
因为或，
例如取，此时，不满足或，
故选：A．
8. 已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】依题意建系，设菱形对角线长,,，将相关向量用坐标表示，利用向量数量积的运算律化简计算，根据平方数的非负性即可求得.
【详解】由已知可得，可建立如图所示的平面直角坐标系，设,,
则，，，，．
于是，，，．
则，，
由
，
当且仅当时，即点为坐标原点时，等号成立.
此时，解得.
故选:D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】由向量的三角不等式可判断选项，结合相等向量的条件可以判断选项，结合的规定可以判断选项.
【详解】，当且仅当，方向相同或，中至少有一个零向量时等号成立，A正确；
当时，，的模与方向均相同，所以，B正确；
对于C，和无法比较大小，C错误；
因为规定与任何向量都共线，所以当时，与可能不共线，D错误．
故选AB．
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个
B. 若，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案.
【详解】对于A：若，，，
由余弦定理得，
故符合条件的有且仅有一个，故A错误；
对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则，
由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确；
对于C：若，由正弦定理得，
由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D：若为锐角三角形，则，所以，
因为在上单调递增，所以，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的图象关于点对称D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数解析式明确定义域，利用奇函数定义可得函数的奇偶性，结合对数函数与三角函数的性质以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，结合选项，可得答案.
【详解】由，则定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，
由在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，
由，则，由，则，故A正确；
当时，易知，由函数在上单调递增，则，故B正确；
由函数为偶函数，则图象关于轴对称，故C错误；
当时，，由函数在上单调递增，
则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的计算公式得到答案.
【详解】向量，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为：
．.
故答案为：
13. 若函数的定义域为，则的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又函数在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，所以的值域为，
故答案为：
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是边CA上的一点，，，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先由余弦定理有，进一步，从而通过等面积法得，结合基本不等式的乘“1”法即可得解.
【详解】
因为，所以，由余弦定理得
，又，所以．
又，所以，因为，所以有
，即，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足为纯虚数，．
（1）求以及；
（2）设，若，求实数的值．
【答案】（1）；
（2）1或5
【解析】
【分析】（1）设复数的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解；
（2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解.
小问1详解】
设，则，
由为纯虚数，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，验证知，满足题意.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故实数的值为1或5.
16. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若向量满足且，求向量的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据的坐标，得到的坐标，再由求解；
（2）设，由，求解．
【小问1详解】
解：由，
得，
所以，
由，得，
解得．
【小问2详解】
设，
所以，
，
由，得，
所以，①
由，得，所以，则，②
由①②得，
故．
17. 在中，内角的对边分别为的面积为，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式化简可得，解之即可求解；
（2）由（1）并根据余弦定理可得，再次利用余弦定理计算即可求解.
【小问1详解】
因为的面积，又．
所以，
又．所以．所以．
所以，又，所以．
【小问2详解】
因为．所以，
所以．所以，
所以．
18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）设，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；
（2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.
【小问1详解】
依题意，，
∴，
∴
【小问2详解】
由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，
，
在上递增，
所以，，，，
故的取值范围是．
19. 记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求角与；
（2）若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；
（3）若点为的重心，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等变换可求得；
（2）利用向量数量积定义可得为的外心，再由正弦定理可得；
（3）利用重心性质可得，再利用余弦定理可得，可得面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得.
又因为，所以.
又因为，由正弦定理得，
即，
因为，所以，且，
所以.
【小问2详解】
由，
可得，
解得，即，
所以为的外心，
由正弦定理得，
所以.
【小问3详解】
设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，如下图所示：

又因为，所以.
在中，由和，可得.
在和中，有，
由余弦定理可得，
故，
所以，
所以的面积为.