河北省泊头市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省泊头市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了 在的展开式中，的系数为， 已知，，，则， 若，则下列结论中正确的是， 下列选项中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）
A. 85B. 90C. 95D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态密度曲线的对称性求解即可.
【详解】由正态密度曲线的对称性，数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，
所以，
故选：C
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
3. 某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（ ）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
【答案】C
【解析】
【分析】除了甲乙外，再选2人，从而利用倍缩法进行求解.
【详解】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种．
故选：C
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】因为，，，
所以，
则，所以.
故选：A.
5. 甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响．若采取“5局3胜制”，则概率最大的比赛结果是（ ）
A. 乙赢得比赛B. 甲赢得比赛
C. 甲赢得比赛D. 甲赢得比赛
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式一一计算比较大小即可.
【详解】若乙赢得比赛，即乙前四场赢两场，第五场赢，
故其概率为：；
同理若甲赢得比赛，其概率为：；
若甲赢得比赛，即甲前三场都赢，其概率为：；
若甲赢得比赛，即甲前三场赢两场，第四场赢，其概率为：，
综上甲赢得比赛，其概率最大.
故选：C
6. 从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，这样的数列共有（ ）
A. 4555个B. 4654个C. 5445个D. 5500个
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意有首项和公差要满足，且，，于每一个公差，首项范围为，共有种情况，最后求和计算即可.
【详解】设等差数列首项为，公差为，则从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，
要满足，且，，
对于每一个公差，首项的范围为，共有种情况，
所以满足条件的递增等差数列个数为：，
故选：A.
7. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 180B. 150C. 120D. 210
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，
则有种分发方式．
故选：A．
8. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先确定的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望.
【详解】玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，故.
玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出，，，，，故.
玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故.
设玩家投掷次即可到达终点，那么第次掷得的点数可以为，分别记作，，，，，则玩家投掷次的基本事件是投掷次的倍，能到达终点的掷法：之前的对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，；对应，，，，.是投掷次即可到达终点的倍.
所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以.
所以
即
两边同乘以得：
两式相减得：.
故选：D
【点睛】结论点睛：若数列是首项为，公比为的等比数列，当且时，数列的所有项的和为：.
二､多选题
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法即可逐一求解.
【详解】令，则，故A正确，
令可得，故，故B错误，
令可得，故，故C正确，
令可得，，故D错误，
故选：AC
10. 下列选项中正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布，则
B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是
D. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次
【答案】BC
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式分别判断AB，由条件概率与对立事件关系判断C，由二项分布的性质判断D．
【详解】A选项，，，，A错误；
B选项，X服从超几何分布，，，B正确；
C选项，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则
,，，故C正确；
D选项，设9次射击击中k次概率最大，
则，解得，所以同时最大，故或，D错误．
故选：BC．
11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（ ）
A. 排列总数为720个B. 满足的排列有80个
C. 的概率为D. 的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D可以列一列再研究.
【详解】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确；
B，若，则先从1，2，3，4，5，6中随机选出3个数，共有种不同的方法，
再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法，
则满足的排列有个，所以B错误；
CD，因为，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
共有10种不同的情况，则的概率为，所以C正确；
的概率为，所以D正确.
故选：ACD.
三､填空题
12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为：
，
所以的系数为．
故答案为：.
13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用概率乘法公式求解概率，即可根据方差的计算公式求解.
【详解】的可能取值为，
所以，
，
，
，
则，
所以．
故答案为：3
14. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件概率和全概率公式的概率公式求解.
【详解】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况.
设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量.
考虑三个箱子的摆放顺序，可得.
当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故.
当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得.
故
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是 求出，以及，利用全概率公式求解.
四､解答题
15. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【答案】（1）7；（2）128；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式即可获解；
（2）令即可获解；
（3）求出有理项的个数，再用插空法即可.
【详解】（1）展开式的通项为，
∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即.
（2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.
（3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率为.
16. 为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念．
（1）女生必须站在一起的站队方式有多少种？
（2）男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？
（3）现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列；
（2）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可；
（3）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可.
【小问1详解】
女生必须站在一起，利用捆绑法，
先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，
则有种站队方式；
【小问2详解】
若甲站在两端，则甲有种站法，
再选一名女生与甲相邻，有种选法，
再将把其他人排列，有排法，
则甲站在两端有种，
若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法，
再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，
则甲不站两端有种，
所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种；
【小问3详解】
先选名女生分到三个年级，有种，
再将个男生分到三个年级，有种，
所以共有种.
17. 机器人甲、乙分别在两个不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2个或3个小球放入箱子，然后乙再从箱子中取2个或3个小球放回箱子，这样称为一个回合．已知甲从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为；乙从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为．现两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中箱子中有3个红球，3个白球；箱子中有2个红球，4个白球．
（1）求第一个回合甲从箱子取出的球中有2个红球的概率；
（2）求第一个回合后箱子和箱子中小球个数相同的概率；
（3）两个回合后，用表示箱子中小球个数，用表示箱子中小球个数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可.
（2）根据概率公式进行求解即可.
（3）先求出随机变量的值，再分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望.
【小问1详解】
在第一个回合中，记事件表示“甲从箱子中取出2个球”，
事件表示“甲从箱子中取出3个球”，
事件表示“甲从箱子取出的球中有2个红球”，
则
【小问2详解】
第一个回合后，箱子和箱子中小球个数相同，即甲从箱子中取出小球的个数与乙从箱子中取出小球的个数一样，所以，．
【小问3详解】
每一个回合后，两个箱子小球数都保持不变的概率，
箱子小球数减少1个，箱子小球数增加1个的概率，
箱子小球数增加1个，箱子小球数减少1个的概率
两个回合后，所有可能值为
所以随机变量的分布列为
所以．
18. 有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立．
（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率；
（2）求与对决过且最后获得冠军的概率；
（3）求与对决过且最后获得冠军的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可；
（3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可.
【小问1详解】
夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为．
由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1．
所以七名运动员各自夺冠的概率均为．
【小问2详解】
记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，．
不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧．
，
，
，
，
所以.
【小问3详解】
记事件“与对决过”．
没有与对决过且最后获得冠军的概率．
由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决．
所以．
代入得：．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率.
19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：
由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望；
①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【详解】解：
，
因为服从正态分布，所以.
所以，
所以的数学期望为.
①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.0
2
4
消费金额（单位：百元）
频数