泊头市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份泊头市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知i是虚数单位,则的虚部为( )
A.2B.C.1D.i
2．已知向量,满足,,则( )
A.8B.4C.2D.1
3．欧拉在1748年给出了著名的欧拉公式：是数学中最卓越的公式之一,其中底数,根据欧拉公式,任何一个复数,都可以表示成的形式,我们把这种形式叫做复数的指数形式,若复数,,则复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示,则在的三边及中线AD中,最长的线段是( )
A.ABB.ADC.BCD.AC
5．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则( )
A.9B.8C.5D.4
6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,在“赵爽弦图”中,若,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形
8．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,,I是内切圆的圆心,若,则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,则下列说法不正确的是( )
A.当时,
B.当时,
C.与夹角为钝角时,则t的取值范围为
D.当时,在上的投影向量为
10．若复数z满足,则可能为( )
A.2B.4C.6D.8
11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是( )
A.
B.在向量上的投影向量为
C.若，则P为的中点
D.若P在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题
12．设,且,其中i为虚数单位,则的模为___________.
13．如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,,AD与CE交于点O.若,则的值是_____________.
四、双空题
14．已知向量,,,__________;在上投影向量的坐标为__________．
五、解答题
15．如图所示,在中,点A是BC的中点,点D是靠近点B将分成的一个三等分点,和交于点E,设、.
（1）用、表示向量、;
（2）若,求值.
16．已知复数（i是虚数单位）是方程的根,其中p,q是实数
（1）求p和q的值;
（2）若是纯虚数,求实数m的值
17．已知,,在同一平面内,且.
（1）若,且,求;
（2）若,且,求与夹角的余弦值.
18．已知中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足.
（1）求A的大小;
（2）若,,,求长.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,设点P为的费马点,求;
（3）设点P为的费马点,,求实数t的最小值．
参考答案
1．答案：A
解析：,
的虚部为2,
故选：A.
2．答案： C
解析：因为,,
所以,所以
所以即,
故选：C.
3．答案：D
解析： ,,
,
复数z在复平面内对应的点为,点Z在第四象限.
故选：D.
4．答案：D
解析：根据的形状可知的形状如下图：
由图可知,最长的线段为AC,
故选：D.
5．答案：C
解析：，，
，，
.
为锐角三角形，，.而，.
由余弦定理可得，，，
则.
6．答案：B
解析：因为,所以,,
所以①,②,
由①+②得：,即.
故选：B.
7．答案： C
解析： ,由正弦定理可得：,
而,当且仅当时取等号．,即,
又,故可得：, ．又,可得,
故三角形为等腰直角三角形．
故选：C．
8．答案：D
解析：,,所以,内切圆的圆心I在边高线上（也是边上的中线）,
,,
以直线为x轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,
则、、,
设的内切圆的半径为,根据等面积法可得：,
解得,即点,则,,,
因为,则,解得,则.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：A：由,则,不正确;
B．由题意,则,正确;
C：当时,即向量,反向共线,此时夹角不为钝角,不正确;
D：时,在上的投影向量为,不正确．
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：设
表示以为圆心,1为半径的圆
表示点到点之间的距离
连接交圆A于点C,延长线交圆A于点D
,
即
故选：BC.
11．答案：BD
解析：如图所示：以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，
设，则，整理得到，，，，，，，，，设，对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确.故选：CD.
12．答案：
解析：由题意,由,可得
故答案为：.
13．答案：.
解析：如图,过点D作,交AB于点F,由,D为BC中点,知,.
,
得,即,故.
14．答案： ①.;②..
解析：因为,所以,
由可得,
所以,即
所以,
所以在上的投影向量为．
故在上的投影向量的坐标为.
故答案为：;.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为点A是的中点,可得,所以,
又点D是靠近点B将分成的一个三等分点,所以,
所以.
（2）因为C、E、D三点共线,所以存在实数,使得,
又因为,可得,,
所以,
因,不共线,则,解得.
16．答案：（1）,
（2）
解析：（1）是方程的根,是方程的另一根,
.
（2）由（1）知：;
是纯虚数,,解得：.
17．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）设,
因为,,,
所以,解得或,
所以或;
（2）因,所以,
又,,
所以,所以,
所以.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,由正弦定理得,
又,
所以
即,整理得,
因为可得,又,
所以;
（2）在中,,
由,解得,
又因为,
所以,得,
由得,所以,
所以,
所以.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,
即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知：,
设,,,由
得：,整理得,
则.
（3）点P为费马点,则,
设,,,,,,
则由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,,故,
当且仅当,结合,解得时,等号成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故实数t的最小值为.