广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题

这是一份广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则“为纯虚数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．3 B． C． D．0
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
7．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
8．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，
且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．设一组样本数据满足，则（ ）
A．拿走，这组数据的方差变大 B．拿走，这组数据的方差变大
C．拿走，这组数据的方差减小 D．拿走，这组数据的方差减小
10．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知、是椭圆的左、右两个顶点，为右焦点，、是椭圆上异于、的任意两点，为坐标原点，则（ ）
A．直线、的斜率之积为
B．若直线过点，则直线、的斜率之积为
C．若直线过点，则直线、的斜率之积为
D．若三角形的面积为，则直线、的斜率之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是 .
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则△ABC的内切圆半径r的最大值为 .
14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是 ；
为的中点，则三棱锥体积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本数据的第62百分位数；
(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；
落在中的样本数据平均数是64，方差是3，
求这两组数据的总平均数和方差.
16．（15分）已知a，b，c是中三内角A，B，所对的边，设面积为，，．
（1）求角A的值;
（2）若的面积为，求的周长．
17.（15分）多面体中，已知，，
且，．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
(1)求，，，；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（17分）在已知双曲线的两个焦点是，，顶点，点是双曲线上一个动点，且的最小值是．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点是轴上异于的顶点和坐标原点的一个定点，直线过点且平行于轴，直线过点且与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．若，，，四点共圆，求点的坐标．
2024—2025学年高二（下）第一次月考数学考试
参考答案
12、125 13、 14、；．
【答案解析】
1．A
2．D【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，
所以有，由为偶函数可得，
故有，，即，，故，所以周期，且.故.答案：D
3．C
4．D
5．C【详解】由，得，即，解得，当时，，显然，则，因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，则，所以.故选：C
6．A【详解】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.故选：A.
7．B【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱.
因为与所成的角为，所以或.设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，于是，所以.
在中，，
在中，由余弦定理得，
显然当时，外接球的半径会更小，此时，
所以，所以，故它的外接球半径的最小值为2.
8．D【详解】令，由，得，，
由双曲线定义，，在中，，由余弦定理可得，得，整理得，解得，所以，，．
在由余弦定理，
得，整理得，则． 故选：D.
9．AD【详解】熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即.将拿走前后的方差分别记为.
对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0，
不妨设，则，，
所以.故
，所以A正确；
对于B，考虑，则，，所以B错误；
对于C，考虑，则，，所以C错误；
对于D，由于这组数据不全相等，所以，而，所以D正确.故选：AD.
10．ACD【详解】存在,,使成立,A正确．
不存在,,使成立,B错误．
,存在,使得成立,C正确．
存在,，使成立,D正确,
故选:ACD.
11．AB【详解】在椭圆中，，，则，所以，、、，设点、，则，所以，，其中，
对于A选项，，A对；
对于B选项，由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，，B对；
对于C选项，当直线过点时，，C错；
对于D选项，设直线、的斜率分别为、，则、，
联立可得，则，
点到直线的距离为，
，
整理可得，即，解得，D错.故选：AB.
12．125【详解】将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，
因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为，
故上四分位数与极差之和是．故答案为：125
13．【详解】已知，由正弦定理可得，又，可求得，，
利用余弦定理，可得，所以，又三角形面积，
又，所以，
故，当且仅当时等号成立，所以的内切圆半径r的最大值为故答案为：
14.；．
【详解】如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，，，，
在平面内，
设，则由得，
化简得，
所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为，
在长方体中，，，
，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
，
到平面的距离为，
满足，
所以的最小值等于，
从而到平面的距离的最小值为，
∴三棱锥体积的最小值为．
故答案为：；．
15．【详解】（1）由，解得；
（2）因为，，
所以样本数据的第62百分位数在内，可得，
所以样本数据的第62百分位数为分；
（3）样本数据落在的个数为，落在的个数为，
，总方差.
【详解】（1）由得，
又，得，
，．
（2）因为三角形的面积为，所以，则，
又，，由余弦定理可得，
即，所以，
因此的周长为．
17．【详解】（1）如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，
因为且，
所以且
则四边形为平行四边形，所以且，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，、平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（2）取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示，
因为，所以，
在等腰梯形中，易得，
又因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
过作于点，由平面平面，平面，
则平面，
连接，则就是直线与平面所成的角，
因为平面，所以，
由，，得，，是中点，，
在等腰梯形中，，
所以在等腰中，腰上的高，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．【详解】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
19．【详解】（1）因为双曲线的顶点，所以，此时双曲线的方程为，
不妨设，，，，
此时，
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，解得，
则，
故双曲线的方程为；
（2）不妨设，，，
此时直线的方程为，
不妨设直线的方程为，，，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，由韦达定理得，，
不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以或，
则直线的斜率与直线的斜率满足，
因为直线的方程为，所以，
此时，
又，
所以，
因为，，整理得，
解得或（舍去），故．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
C
D
C
A
B
D
AD
ACD
AB