2024-2025学年北京市东城区第五十中学高二下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市东城区第五十中学高二下学期3月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x∣1≤x≤3,B={x∣2cB. b>a>cC. b>c>aD. a>c>b
8.如图所示，已知直线y=kx与曲线y=fx相切于两点，函数gx=kx+mm>0，则对函数Fx=gx−fx描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
9.函数f(x)=x2–xsinx的图象大致为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数fx=x+1ex.若过点P−1,m可以作曲线y=fx三条切线，则m的取值范围是( )
A. 0,4eB. 0,8eC. −1e,4eD. 1e,8e
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.如图，直线l是曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线，则limΔx→0f(0+△x)−f(0)△x= ．
12.函数f(x)=sin2x，则f′(x)= ．
13.已知fx=13x3+mx2+m+2x+3在R上不是单调增函数，那么实数m的取值范围是 ．
14.已知定义在区间(−π,π)上的函数f(x)=xsinx+csx，则f(x)的单调递增区间为 ．
15.我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当x→0时，sinxx的极限即为00型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：limx→0sinxx=limx→0sinx′x′=limx→0csx1=1，则limx→0ex+e−x−21−csx= ．
16.已知函数f(x)=ex−e−x，下列命题正确的有 .(写出所有正确命题的编号)
①f(x)是奇函数；
②f(x)在R上是单调递增函数；
③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈(0,+∞)，都有f(x)>kx，那么k的最大值为2．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−12x．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
18.(本小题12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF//AB，其中AD=2,AB=AF=2EF=1,P是棱DF的中点．
(1)求证：BF//平面APC；
(2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值；
(3)求点E到平面APC的距离；
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=klnx−1x，其中k为常数，且k∈R．
(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若函数在(2,+∞)上单调递减，请直接写出一个满足条件的k值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0过点1, 63，过其右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且AB=2 33．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y=kx−12与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP=2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
定义：Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3x11时，(t+1)lnt−2(t−1)>0，
即(t+1)lnt−2(t−1)=0无解，
所以函数f(x)=lnx不是“等差函数”；
(3)假设函数f(x)=xlnx为“等比函数”，
因为00，
所以g(x)=lnx−x2−1x2+1在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(1)=0，
所以lnq−q2−1q2+1=0在q>1时无实数解，
所以函数f(x)=xlnx不是“等比函数”． x
(−∞,−2)
−2
(−2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗