2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z满足iz=3−4i，则z的虚部为( )
A. 3iB. −3iC. 3D. −3
2.已知集合A=x∣x−2≤0,B=x∣x2+2x−30，fx1=−3，fx2=3，且x1−x2的最小值为2π，则ω的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
4.已知向量a=1,1,b=x,−1，则“x=−1”是“a+b⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
5.在▵ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.记Sn为数列{an}的前n项和．若an=n(8−n) (n=1,2,⋯)，则( )
A. {an}有最大项，{Sn}有最大项B. {an}有最大项，{Sn}有最小项
C. {an}有最小项，{Sn}有最大项D. {an}有最小项，{Sn}有最小项
7.在等腰梯形ABCD中，AB=−2CD．M为BC的中点，则AM=( )
A. 12AB+12ADB. 34AB+12ADC. 34AB+14ADD. 12AB+34AD
8.已知函数fx=aex−x在区间1,2上单调递增，则实数a的最小值为( )
A. e2B. eC. e−1D. e−2
9.点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动.若PA1//面AMN，则PA1的长度范围是( )
A. 2, 5B. 3 22, 5C. 3 22,3D. 2,3
10.已知函数fx=x2−x,x≤0,x−alnx,x>0,若∀x1≤0，∃x2>0，使fx2=fx1成立，则实数a的取值范围为( )
A. −∞,0∪e,+∞B. e,+∞
C. 0,eD. 0,e
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.二项式( x−2x)6的展开式中常数项为 .(用数字作答)
12.函数f(x)=1x+ 1−x的定义域是 ．
13.已知命题p：∃x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是 ．
14.已知等边▵ABC的边长为4，E , F分别是AB , AC的中点，则EF⋅EA= ；若M , N是线段BC上的动点，且MN=1，则EM⋅EN的最小值为 ．
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：
①D1O⊥AC；
②存在一点P，D1O//B1P；
③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为 5；
④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在▵ABC中a=1， b=2．
(1)若c=2 2，求▵ABC的面积：
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在，求∠A．
条件①：∠B=2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C=2∠A．
17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， AC=CD= 5．
(1)求证：PD⊥AB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．
18.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下：
假设用频率估计概率．
(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？(结论不要求证明)
19.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1过点P−2,1和Q2 2,0．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点G0,2作直线l交椭圆E于不同的两点A,B，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.若GM⋅GN=2，求直线l的方程．
20.已知函数fx=xeaxa>0．
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)求fx在区间−1,1上的最大值与最小值；
(3)当a=1时，求证：fx≥lnx+x+1．
21.对于数列A:a1，a2，a3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1，b2，b3，其中bi=ai−ai+1(i=1,2)，且b3=a3−a1，记作B=T(A).继续对数列B进行“T变换”，得到数列C:c1，c2，c3，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)直接写出A:2，6，4经过1次“T变换”得到的数列B，及B再经过3次“T变换”得到的数列E；
(2)若A经过n次“T变换”后变换结束，求n的最大值；
(3)设A:a1,a2,a3ai∈N,i=1,2,3，B=T(A).已知B:2，a，b，且B的各项之和为2022，若B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.C
9.B
10.A
11.60
12.(−∞,0)∪(0,1]
13.0,1
14.2 ； ； ；
； ； ；114/2.75
15.①③
16.(1)由题意可知a=1，b=2，c=2 2，
所以csC=b2+a2−c22ab=−3412或k12，所以得2k−12k−3=1，即k=1，经检验符合题意，此时直线l为y=x+2
综上所述，直线l的方程为y=x+2或x=0．

20.解：(1)f′x=1+axeax ， f′0=1 ， f0=0 ，
所以曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程为 y=x ；
(2)f′x=1+axeax ， a>0，
当 01 时，令 f′x=0 ，得 x=−1a∈−1,0 ，
在区间 −1,−1a 上f′x0，函数 fx 单调递增，
所以函数 fx 的最小值为 f−1a=−1ae ，
f(−1)=−e−a ， f1=ea ，显然 f1>f−1 ，所以函数 fx 的最大值为 f1=ea ，
综上可知，当 01 时，函数 fx 的最小值为 f−1a=−1ae ，最大值为 f1=ea ；
(3)当 a=1 时， fx=xex ，即证明不等式 xex≥lnx+x+1 ，
设 gx=xex−lnx−x−1 ， x>0 ， g′x=x+1ex−1x ，
设 ℎx=ex−1x ， x>0 ， ℎ′x=ex+1x2>0 ，
所以 ℎx 在 0,+∞上 单调递增，并且 ℎ12= e−20 ，
所以函数 ℎx 在 12,1 上存在唯一零点 x0 ，使 ℎx0=ex0−1x0=0 ，
即 g′x0=0 ，则在区间 0,x0 ， g′x0 ， gx 单调递增，
所以 gx 的最小值为 gx0=x0ex0−lnx0−x0−1 ，
由 ℎx0=ex0−1x0=0 ，得 x0ex0=1 ，且 x0=−lnx0 ，
所以 gx0=0 ，
所以 gx=xex−lnx−x−1≥0 ，即 fx≥lnx+x+1 ．

21.(1)B=T(A)
A:2，6，4经过1次“T变换”得B：4，2，2，
B：4，2，2，经过1次“T变换”得2，0，2；B经过第2次“T变换”得2，2，0；
B经过第3次“T变换”得0，2，2.即E：0，2，2．
(2)n的最大值为1
①先证明n可以为1
构造A：1，1，1，则T(A)：0，0，0，变换结束，此时n=1．
②再证明n≤1
反证法：假设n≥2
设经过n−1次“T变换”后得到的数列为x,y,z，且x,y,z不全为0．
因为A经过n次“T变换”后变换结束，
所以x−y=y−z=z−x=0，所以x=y=z=t(t为非0常数)
设x,y,z(即t,t,t)由x1,y1,z1进行“T变换”得到，
则x1−y1=y1−z1=z1−x1=t≠0
不妨设x1≥y1≥z1
所以x1−y1=y1−z1=x1−z1=t≠0
所以x1−z1=x1−y1+y1−z1=t+t=2t，与x1−z1=t矛盾．
综上，n的最大值为1
(3)因为B的各项之和为2+a+b=2022，不妨设a≤b，所以b为B的最大项
即a1−a3最大，即a1≥a2≥a3，或a1≤a2≤a3
当a1≥a2≥a3时，可得2=a1−a2a=a2−a3b=a1−a3
所以2+a=b，则a=1009,b=1011
当a1≤a2≤a3时，可得2=a2−a1a=a3−a2b=a3−a1
所以2+a=b，则a=1009,b=1011
定义：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B
“结构相同”．
若数列B的三项为x+2,x,2(x≥2)，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x,x−2,2(不考虑顺序)
所以与数列B“结构相同”的数列经过“T变换”得到的数列也与B“结构相同”，除2以外其余各项减少2，各项之和减少4．
因此，数列B:2，1009，1011经过504次“T变换”一定得到各项为2，1，3，(不考虑顺序)的数列．
对2，1，3，继续进行“T变换”，依次得1，2，1；1，1，0；0，1，1；
各项为1，1，0的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项之和不再减少．
所以，至少通过506次“T变换”得到的数列各项之和最小．
故k的最小值为506．
“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
a
X
0
1
2
P
1625
825
125