辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如果角的终边上有一点，那么
A. 是第三象限角B. 是第四象限角
C. 是第三或第四象限角D. 不是象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根据点的位置，可判断出角终边的位置.
【详解】因为点在轴的负半轴上，即角的终边落在轴的非正半轴上，所以不是象限角．
故选D.
【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置，考查对任意角概念的理解，属于基础题.
2. 若是第三象限角，则等于（ ）
A. 1B. -1C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】先切化弦，再根据的象限，去掉绝对值符号，即可.
【详解】解：
又第三象限角，故,
所以
故选：B.
3. 函数（，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据图象得，进而得，再把代入函数解析式得，再结合得，故.
【详解】解：因为，所以，
解得，所以.
将点的坐标代入可得，
所以，即.
因为，所以，从而.
故选：A.
4. 已知点在第二象限，则角的一个可能的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过求出角的所在象限和正余弦的大小关系，即可得出结论.
【详解】由题意，
点在第二象限，
∴，故，
取，则，
取，则，
取，则，
故选：C.
5. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数不为奇函数B. 函数存在反函数
C. 函数具有周期性D. 函数的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：的定义域关于原点对称，且，，故为奇函数，故A错误；
对于B：，在定义域内一一对应，所以，即的反函数为，故B正确；
对于C：因为，，故图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以不具有周期性，故C错误；
对于D：因为，，所以图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以的值域为一些点构成的集合，不是R，故D错误.
故选：B
6. 使（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）
A. B. C. πD.
【答案】A
【解析】
【分析】函数在区间[0，1]至少出现2次最大值等价于函数的图象在区间[0，1]上至少出现个周期，由此可得的不等式，解不等式可得所求的最小值．
【详解】由题意得函数的最小正周期为．
∵函数在区间[0，1]至少出现2次最大值，
∴，
又，
∴，
∴的最小值为．
故选A．
【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用，将函数在给定区间内取得最值的个数转化为函数在该区间内周期的个数的问题解决，建立不等式后解不等式即可得到所求．
7. 已知，若与的夹角为，则在的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助数量积公式与投影向量公式计算即可得.
【详解】因为与的夹角为，
所以，
则，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
8. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积、模长的运算、向量平行逐项判断即可得结论.
【详解】，是两个相互垂直的单位向量，
所以，
对于A，，
，所以，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的定义域为
C. D. 在上单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正切函数的周期性、定义域、特殊角的正切值和单调性依次判断选项即可.
【详解】对于A：函数的最小正周期，故A正确；
对于B：由，，得，，
所以函数的定义域为，故B错误；
对于C：，，
所以，故C正确；
对于D：当时，，
因为在单调递增，
所以在上单调递增，故D错误.
故选：AC.
11. 函数，下列四个选项正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数B. 的图象关于直线对称
C. 在区间，上单调递减D. 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知解析式得，，特殊值法判断是否相等判断A；根据所得解析式判断关系判断B；根据正余弦函数的性质判断C、D.
【详解】由解析式得，，（注意函数是连续的），
显然，显然不是的周期，A错；
当时，，。
所以，结合上述解析式知，
当时，，。
所以，结合上述解析式知，
所以的图象关于直线对称，B对；
由，，
又在上单调递减，C对；
当，时，，
当，时，，
所以值域为，D对.
故选：BCD
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积及共线向量，列式求解作答.
【详解】因与是两个互相垂直的单位向量，则，，
又向量与的夹角为锐角，则，且向量与不共线，
由得：，解得，
当向量与共线时，，解得，因此向量与不共线，有且，
所以k的取值范围是且，即.
故答案为：
13. 已知向量，，，是非零向量，且，，则的面积为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】由已知可求得，进而得，，可求面积.
【详解】因为，，所以．由，，
得，解得，从而，，
故是直角三角形，为直角顶点，则该三角形的面积为．
故答案为：.
14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积.
【详解】函数，则；
，因此函数的周期为，
则，
当时，；当时，，；
当时，；当时，，；
当时，，；
当时，，，
因此，，
所以集合中所有元素之积为.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：分段讨论求出函数的值域是求得第2空答案的关键.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
（2）写出的单调递增区间．
【答案】（1）答案见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出的周期，对比正弦函数，算出“五点法”的五点，描点画图即可；
（2）对比正弦函数的单调区间，列不等式求解即可.
小问1详解】
函数的周期为，列表
描点、连线得到图象如下，
【小问2详解】
由，
得．
所以的单调递增区间为．
16. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数在的单调递增区间；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求的最大值．
【答案】（1）和．
（2）．
【解析】
【分析】（1）确定函数解析式，通过整体代换即可求解；
（2）结方程，进而可求解；
【小问1详解】
由图象可知，
所以．又，解得，
所以．
令，
得，
又因为，
所以函数在的单调递增区间为和．
【小问2详解】
由，
得或
函数在每个周期上恰有两个零点，
结合图象可知的最大值为．
17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足(其中，，)求摩天轮转动一周的解析式；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面高度第一次恰好达到52米？
【答案】（1）()；（2）5分钟
【解析】
【分析】（1）根据函数关系式，结合已知条件可知，，即，求得，利用的最小正周期，求出，再根据题意知其过点，求出，即可求出摩天轮转动一周的解析式；
（2）令，求出符合题意的即可.
【详解】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，
摩天轮最低点距离地面米，即，
，解得
又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，的最小正周期为
，
又，
，
所以摩天轮转动一周的解析式为：()
（2）由（1）知，()，
令，解得：
要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，，，
，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米.
【点睛】方法点睛：求(其中，)解析式的步骤
（1）求，确定函数的最大值M和最小值m，则，.
（2）求，确定函数周期T，则.
（3）求，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
18. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数的零点为，求；
（3）若对任意，有解，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是得出，然后通过图象的平移即可得出，最后根据函数为奇函数即可求出的值；
（2）首先可通过题意得出，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果；
（3）本题可令，然后根据得出，最后通过求出的取值范围即可得出的取值范围.
【小问1详解】
因为相邻对称轴之间的距离是，所以，，
所以，解得，，
将的图像向右移个单位，可得函数，
因为函数为奇函数，所以，，
因为，所以，
所以，
【小问2详解】
因为函数的零点为，
所以，，
因为，
所以.
【小问3详解】
令，
因为，所以，，
则有解，即有解，
当时，无解，当时，即有解，
因为在上单调递增，所以当时，，
因为有解，所以的取值范围为.
19. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：
（1）已知向量，满足，，，求的值；
（2）已知向量，，，求的最小值．
【答案】（1）2 （2）9
【解析】
【分析】（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
【小问2详解】
法一：设，，则，，
所以，
，
所以，
故，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值的最小是9．
法二：，故．故．
故
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值的最小是9．
0
0
2
0
0