江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了03， 的值， 若角的终边过点，则， “”是“”的条件， 南昌市摩天轮的高为160米， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的值（ ）
A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】结合余弦函数正切函数性质分别判断的正负，即可得答案.
【详解】由余弦函数性质，当时，，
由，，
由正切函数性质，当时，，
由，，故，
故选：.
2. 若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知角的终边过点，则可求，再利诱导公式即可.
【详解】角的终边过点，则，
则.
故选：A.
3. 在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出扇形（圆心角为）的面积为，再结合弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为，计算即可.
【详解】如下图，圆的半径为2，弦的长度为2，则△为正三角形，，
所以扇形（圆心角为）的面积为，
又△的面积为，
所以弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为.
故选：A.
4. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质求出的解，判断是否与的范围相对应，再根据充分必要条件的定义即可判断.
【详解】因为，所以或.
对，当时，与对应；
当时，与对应.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数的定义域为D. 函数在区间单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切函数的周期性、对称性、定义域和单调性相应的理论进行求解判断即可.
【详解】对于A：根据正切函数周期公式，得函数的最小正周期为，故A错；
对于B：根据正切函数对称中心令，
所以当时得到图象的一个对称中心为，故B正确；
对于C：令，
得到的定义域为，故C错；
对于D，令时，，函数没有意义，故D错.
故选：B.
6. 已知实数的较大者可以表示为，若函数，则的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先化简的解析式，画出函数图象，再数形结合即可求解.
【详解】，
令，即，即，
解得；
令，即，即，
解得，
所以，
则的图象如下所示：
所以的值域是.
故选：B.
7. 南昌市摩天轮的高为160米（即最高点离地面的距离），转盘直径为153米，摩天轮在开放时匀速旋转，并且旋转一周需30分钟，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化而变化，以你登上摩天轮的时间开始记时，则下列选项不正确的是（ ）
A. 你与地面的距离与时间的函数解析式为
B. 第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间
C. 第4次距离地面121.75米时，用了40分钟的时间
D. 当你距离地面121.75米，你所用的时间的取值集合为或
【答案】C
【解析】
【分析】以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设，
根据题意得，得到函数解析式即可判断A；令121.75，，求得，得到第1次和第二次距离地面121.75米所需的时间，由此判断B；再根据周期性得到第4次距离地面121.75米时所需的时间，从而得到距离地面121.75米所用的时间的取值集合，由此判断C、D.
【详解】如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，
设，
根据题意，，，
∴，故A正确；
令121.75，得，，
若，则，∴或，，=20.
所以第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间，故B正确；
第2次距离地面121.75米时，用了20分钟的时间，第4次距离地面121.75米时，用了50分钟的时间，故C不正确；
故距离地面121.75米所用的时间的取值为，或，，故D正确.

故选：C.
8. 设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件结合三角函数诱导公式可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可.
【详解】由已知条件及三角函数诱导公式得：
所以函数的周期，
在同一直角坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性知，是以为底边的等腰三角形，
所以，
由展开整理得：，
又，所以，
设点的纵坐标分别为，则，即，
要使为锐角三角形，则，又，
所以当且仅当时满足要求，
此时，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式.
二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 与的图象相同
C. 不等式的解集为
D. 函数的定义域为；
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦函数的图像与性质即可判断A；利用余弦函数的奇偶性可判断B；利用辅助角公式结合正弦型函数的图像性质可判断C；利用正切函数的定义域结合正切函数的性质可判断D.
【详解】对于A：由得，所以不等式的解集为，故A正确；
对于B：因为,所以;又，所以与的图象相同，故B正确；
对于C：由，可得，则，即，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D：由函数得，解得，所以的定义域为且，故D不正确.
故选：ABC.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象得到 再由得到，然后由的图象过点求得解析式后逐项判断.
【详解】由图象得，，而，则，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，
因此，A正确；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是：
，非奇非偶函数，B错误；
，C正确；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域均为，关于直线对称，且，若，则（ ）
A. B. 的图象关于点中心对称
C. 是奇函数D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，，得，判断C；
令，，求得判断A；根据，结合，判断B；，是以6为周期的周期函数，结合，判断D.
【详解】因为于直线对称，
所以，所以.故C不正确；
当时，，又，所以，故A正确；
，又，所以，即，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
，所以是以6为周期的周期函数，
由以上分析可知，
，D不正确.
故选：AB.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数是奇函数，那么的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，即可求得，结合，即得答案.
【详解】由题意知函数是奇函数，
则，结合，可得，
故答案为：.
13. 已知，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题设求出的范围，结合求出，再通过诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的商数关系求得.
【详解】∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
，
故.
故答案为：.
14. 已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到，再由范围求出的范围，即可得到，即可求出的取值范围.
【详解】因为恒成立，则，
所以，则，
当时，，
因为，则，
因为在区间上恰有个零点，则，
即，，解得，，
因为，由题意可知. 所以，可得；
即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再结合零点个数得到.
四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化弦为切，再代入计算即可；
（2）先运用诱导公式化简，再利用代换化为的齐次分式并化弦为切代入计算即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
.
16. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移，再向下平移个单位，得到函数的图象.若，求的值域.
【答案】（1），单调递减区间为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象分别求出，再利用正弦函数的单调性求解得到答案；
（2）根据图像变换得到，再根据三角函数的图象求指定区间上的值域.
【小问1详解】
由图象可得，
所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以
，
令，可得，
所以单调递减区间为.
【小问2详解】
，
由可得
.
17. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.

（1）当米时，求的长；
（2）记花卉周围栅栏长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.
【答案】（1）
（2）当时取等号，栅栏长度的最小值为40米.
【解析】
【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式，令，求出，在根据求出答案；
（2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值.
【小问1详解】
利用扇形的面积公式可得，
所以，
于是米.
【小问2详解】
依题意可得弧长，弧长，
所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得，
当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米.
18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；
（2）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．
【小问1详解】
因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
所以，又，即，所以，所以，
又因为函数的图象过点，所以，即，又因为，解得，
所以；
小问2详解】
当时，
令或，解得或，
所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
且当时，则的图象）如下所示：
因方程在区间上恰有三个实数根，且，
即与在区间上恰有三个交点，则，
且与关于对称，与关于对称，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
19. 已知函数，的最大值为，最小值为，，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据的最大值为，最小值为，则，且，求出，再根据，且，求出，进而得到函数的解析式；
（2）求出函数在上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解.
【小问1详解】
因为函数的最大值为1，最小值为，所以，且，
，
，
，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，
因此在上单调递增，函数值集合为值域为，
由有且只有一个实数，对于，使得，
得函数在上的值域包含，并且实数唯一､
①当时，函数在[0，2]上单调递增，的值域为，
由，得，
解得，显然符合条件的实数不唯一；
②当时，函数的图象对称轴为，当，即时，在[0，2]上单调递增，的值域为，
于，解得，显然，当且仅当时，且唯一､因此；
③当，即时，，
当是最小值时，而，不满足函数在上的值域包含，则不是最小值，必有，得，于是，
解得，当时，且，此时且唯一
并且当时，，实数不唯一､因此，所以实数的值是或.
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有，则的值域是值域的子集．