江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2024-2025学年高一下学期阶段测试1（3月） 数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2024-2025学年高一下学期阶段测试1（3月） 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1. 已知向量，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以=（5，7），故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
2. 已知，，，则（ ）
A A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法法则，得到，从而可得结论.
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选：A.
3. 在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
【详解】由题意知：是的重心，设，
则有解得
故.
故选：C
【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题.
4. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：）
A. 2033年B. 2032年C. 2031年D. 2030年
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项.
【详解】设2022年起第年投入的研发资金为（2022年为第一年），
由，得，
两边取常用对数得，则，
所以2032年第一次研发资金超过.
故选：B
5. 如图，已知中，为的中点，，若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.
【详解】因为，
所以，.故.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
6. 已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】令，
得，
在同一坐标系中作出函数的图象，
如图所示：
由图象知：即
故选：B
7. 设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合投影向量的意义可得，再利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出的值.
【详解】由向量在向量上的投影向量为，得，则，
由，
得，
所以.
故选：A
8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】令，则有，解得，，，，再结合函数的图象，分别求出的解的个数，即可得答案．
【详解】因为，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，；
当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又；
作出函数的图象，如图所示：
令，则有，
易得此时有4个解，分别为，，，，
结合图象可得：
当时，即，此时有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
所以原方程共有个解．
故选：D
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，画出函数图象，结合图象求解.
二、多选题（共3题，每题6分，共18分）
9. 已知函数有两个零点，则零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数，
又，，
，，
，
且，，
所以由零点存性定理可知函数在和上有零点.
故选：AD.
10. 对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，且，则
C. 若，且，则的充要条件是
D. 若，且，则对任意实数t，都有
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平面零向量的概念即可判断A；根据向量的运算律和垂直的向量表示即可判断BC；根据共线向量的概念即可判断D.
【详解】对于A，是零向量时，对任意和都成立，故A不正确；
对于B，，即，与可能垂直，不一定有，故B不正确；
对于C，的充要条件是，
即，所以，故C正确；
对于D，消去向量，则有，，
若，则，，
若，则，，所以，故D正确．
故选：AB
11. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量线性运算、向量的模的计算、向量数量积、向量投影等知识对选项分别进行分析，由此确定正确选项.
【详解】如图：
对于A，．故A不正确；
对于B，
所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，在上的投影向量是．故D正确．
故选：BCD.
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12. 已知点，，，则向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据得到方程组解出即可.
【详解】设，∵，，
∴，∴，解得，
∴，又，∴.
故答案为：.
13. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数．现有的物体放到的空气中冷却2分钟后，物体的温度为，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得正确结论.
【详解】依题意，，
故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到：
.
故答案为：
14. 已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】借助投影向量定义可得，借助模长公式可得，再利用夹角公式计算即可得解.
【详解】由，是两个单位向量，且，得，
，，
因此，而，
因此，
所以与的夹角为.
故答案为：
四、解答题（共5题，共77分）
15. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且与垂直，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解；
（2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，，
又与垂直，所以，
即，则.
16. 在中，，，且与的夹角为．P为线段AB上的一点，设．
（1）若，用基向量，表示，并求；
（2）若，求实数t的值．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算求得，再利用数量积的定义及运算律求出.
（2）用基向量，表示，再利用垂直关系的向量表示列式求出t的值．
【小问1详解】
在中，，则，因此；
由，，且与的夹角为，得，

所以．
【小问2详解】
由，得，，
由，得，
因此，
，所以.
17. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象如图所示；
（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分．
现有以下三个函数模型供选择：．
（1）选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？
【答案】（1）选对数型模型，；
（2）70分钟
【解析】
【分析】（1）根据函数图像的特点选择函数模型，再代点进去即可求得结果.
（2）利用函数的单调性求解即可得到结果.
【小问1详解】
根据图象是曲线且单调递增，
故选对数型模型，；
由题意可知在上，
所以，解得，
所以，
所以函数解析式为；
【小问2详解】
令，可得，
即解得，所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟．
18. 在等腰梯形ABCD中，，，，设，，取，为基底，若点P是梯形ABCD内部（含边界）上一点，且（，）．
（1）设，求，的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）若，求证的面积为定值，并求出这个定值．
【答案】（1），；
（2）1； （3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据向量的减法运算和平面向量基本定理即可求解；
（2）先用表示，求出，将两边平方，利用平面向量数量积的定义与运算律，结合二次函数的性质即可求解；
（3）当时，得，即，即可求解.
【小问1详解】
根据题意有，
，，
，
又，，由，
即，
所以，，则，；
【小问2详解】
在等腰梯形ABCD中，，，，
过点作，过点作，则有，则，得，
所以，
，
当且仅当时，有最小值1，此时，
满足条件的点在梯形ABCD内部．
【小问3详解】
，
当时，，
所以，从而动点P在过点D且与BC平行的直线上，设过点D且与BC平行的直线与交点，
过点作，由，，
所以
所以的面积为定值，所以．
19. 已知函数，，其中．
（1）若的定义域是一切实数，求m的取值范围；
（2）若的值域是，求m的值；
（3）证明：对任意，函数存在零点；
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得对一切实数x恒成立，进而结合二次函数求解即可；
（2）令，由题意可得t可以取中的一切实数，且t的最大值是8，进而结合二次函数求解即可；
（3）按的取值分类讨论，结合函数零点存在性定理求证即可.
【小问1详解】
依题意对一切实数x恒成立，
则m>0Δ=(−m)2−4×4×m