安徽省六安市裕安区新安中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省六安市裕安区新安中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一年级三月份月考数学试卷
必修一：第五章 必修二：第六章
一、单选题（每题5分共40分）
1. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．
【详解】因为角的终边经过点，
则.
故选：D.
2. 在四边形中，已知，，则四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形B. 正方形C. 矩形D. 菱形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得四边形是平行四边形，进而可得，可得四边形是菱形．
【详解】因为，即，所以四边形是平行四边形．
因为，，所以是等边三角形，
则，所以四边形是菱形．
故选：D.
3. 已知角，向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】因，则，
向量，，若，则，可得，
故.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】.
故选：D.
5. 若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的运算律，整理等式，可得答案.
【详解】由，得．
因为为单位向量，所以化简可得：，解得，
则与夹角的余弦值为．
故选：D.
6. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】化简，再利用数量积公式计算即可.
【详解】由题得．
故选：A．
7. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值.
【详解】因为，
由正弦定理，得．
因，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，则．
由余弦定理，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故选：B.
8. 在同一平面内，设，动点M满足（c为常数），则下列不正确的是（ ）
A. 若，则存在满足条件的点M使得
B. ，点M构成的集合是垂直于线段AB的一条直线
C. 若，则点M，A，B可构成一个直角三角形
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系写出点A，B，M的坐标，由，得到，再利用数形结合分别判断即可．
【详解】以所在的直线为x轴，的中垂线为y轴，建立如图平面直角坐标系，
∵，则，，设，
由，得，∴，∴.
对A：若，则，当时，，，则，∴A正确；
对B：直线与线段垂直，∴B正确；
对C：若，则M在直线上运动，当M与B重合时，三点M，A，B不能构成直角三角形，∴C错误，
对D：若，则M在直线上运动，∴，∴D正确，
故选：C
二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分）
9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，判断每个选项的向量是否共线即可得到答案.
【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作为一组基底；
B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底；
C选项：，两向量共线，不能作为一组基底；
D选项：，两向量共线，不能作为一组基底.
故选：ACD.
10. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在方向上投影向量为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可.
【详解】依题意，，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，
则在方向上的投影向量为，D正确.
故选：AD
11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A. 在上的投影向量为
B.
C.
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B正确，
对于选项C，，
显然时，不成立，故选项C错误，
对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确，
故选：BD．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可.
三、填空题（每题5分共15分）
12. 一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的物理意义，利用向量的加法以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为，
于是有，
所以，则经过2h，船的实际航程为.
故答案为：.
13. 已知向量，，且，则正数______．
【答案】2
【解析】
【分析】由向量线性关系的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程求即可.
【详解】由题设，又，
所以，可得，
又，故.
故答案为：2
14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；
解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知函数.
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，代值后利用和角公式计算即可求得的值；
（2）由题设条件，利用辅助角公式化简后解三角方程，推得，即可求的值.
【小问1详解】
因为
，
故
；
【小问2详解】
由，可得，即，
则有，即，于是.
16. 设，求：
（1）的值域，周期；
（2）的对称轴、对称中心；
（3）的单调区间．
【答案】（1）值域：，周期：，且；
（2）对称轴为直线，；对称中心为，；
（3）单调递增区间为；单调递减区间为.
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，利用整体思想，根据正弦函数的值域、周期、对称轴、对称中心以及单调区间，分别建立方程与不等式，可得答案.
【小问1详解】
由，
则，
易知，最小正周期，则周期为，且.
【小问2详解】
由（1）可得，
令，，解得，；
令，，解得，.
所以函数的对称轴为直线，；对称中心为，.
【小问3详解】
由（1）可知，
令，，解得，；
令，，解得，
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为．
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
（1）求
（2）已知，D为AB边上一点，且，，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求；
（2）由已知可得，可求得，利用余弦定理可求得，进而可得为等腰三角形，可求解.
【小问1详解】
由可得，
即，
所以，
又因为，所以，
结合，所以；
【小问2详解】
由题可知，与相似，则，
设，则，有，故，所以，
在中，，解得：，
所以，所以为等腰三角形，所以
18. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：
（1）AD的长；
（2）的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可.
（2）利用向量的夹角运算公式求解即可.
【小问1详解】
设，，
则.
，
．
【小问2详解】
设，则向量与的夹角为．
，
，即．
19. 在中，设，点是线段中点，点是线段的靠近点的三等分点．
（1）求的值；
（2）请用来表示
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性分解与数量积运算律有，再分别求出模长，利用向量的夹角公式即可求得结果.
（2）由三点共线，可设，利用向量相等列出等式即可求得结果.
【小问1详解】
，注意到，
所以，
，
，
所以；
【小问2详解】
由三点共线，可设，
由于不共线，所以只能，
所以.