2025年湖北省楚天名校协作体中考数学一模试卷

这是一份2025年湖北省楚天名校协作体中考数学一模试卷，共49页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在0，﹣1，，﹣2这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣1C．D．﹣2
2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（2b）2＝2b2C．a6÷a2＝a3D．（a2）4＝a8
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．在湖北“三九四九冰上走”是必然事件
B．对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D．在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响
5．（3分）如图，一个30°角的三角尺如图放置，已知直线a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
6．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣3＜0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，点A坐标为（4，4），点C坐标为（2，0），将线段CA绕点C顺时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（ ）
A．（4，﹣4）B．（6，﹣2）C．（2，﹣4）D．（4，﹣2）
8．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R之间的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＜0；③；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝2；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（3分）计算＝ ．
12．（3分）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，直线HG与⊙O相切于点B，则∠CBG＝ °．
14．（3分）截止2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是 ．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，，BC＝4，∠C＝45°．若点D是AC边上的一点，将△BCD沿BD所在直线翻折得到△BDF，BF交AC于E，DF∥AB，则AC＝ ，DE＝ ．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）先化简，再求值：，其中．
17．（8分）如图在▱ABCD中，AE交BC于E，EF∥AB，
（1）通过图中的作图痕迹判断四边形ABEF的形状并证明你的结论；
（2）请你添加一个条件使得四边形ABEF为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）．
18．（8分）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点D处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°，测得国旗杆AB底端B的俯角为60°，求国旗杆AB的高度（，，结果精确到0.1米）．
19．（8分）为了迎接学校的体育运动节，体育老师想了解女生一分钟仰卧起坐（个数）的情况，特抽查了九年级部分女生的一分钟仰卧起坐（个数）情况，按成绩（10分制）分为A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图表，
（1）表中m＝ ；扇形统计图中，等级C所占百分比是 ．
（2）九年级有女生300人，估计成绩为9.5分及以上的有多少人？
（3）通过对统计图表的分析，请你对九年级的女生提出一条好的建议．
20．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第二，四象限分别交于A（﹣6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1≥y2时，x的取值范围．
21．（8分）如图，AB，BC分别与⊙O相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线CD过点G，且CD∥AB，CD交BC于C点，且BE+CG＝BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OB＝6，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积（保留根号和π）．
22．（8分）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元．
（1）求购买一套桌椅需多少钱？
（2）求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由；
（3）如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？
23．（8分）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小明同学将图1中的△BEF绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论：
①＝ ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．
（2）小明同学继续将△BEF绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求△AEF的面积；
（3）在△BEF绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记△AEF的面积为S，直接写出S的取值范围．
24．（11分）如图抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，若新抛物线的顶点G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围．
2025年湖北省楚天名校协作体中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在0，﹣1，，﹣2这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣1C．D．﹣2
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【答案】D．
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣2＜＜﹣1＜0，
∴最小的数是：﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（2b）2＝2b2C．a6÷a2＝a3D．（a2）4＝a8
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等运算法则逐项判断即得答案．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，选项计算错误，不符合题意；
B、（2b）2＝4b2，选项计算错误，不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，选项计算错误，不符合题意；
D、（a2）4＝a8，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．在湖北“三九四九冰上走”是必然事件
B．对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D．在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响
【考点】利用频率估计概率；全面调查与抽样调查；随机事件．
【答案】A
【分析】根据随机事件、全面调查与抽样调查、利用频率估计概率进行判断即可．
【解答】解：A、在湖北“三九四九冰上走”是随机事件，不是必然事件，原说法错误，符合题意；
B、对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，正确，不符合题意；
C、在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，正确，不符合题意；
D、在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了随机事件、全面调查与抽样调查、利用频率估计概率，熟知以上知识是解题的关键．
5．（3分）如图，一个30°角的三角尺如图放置，已知直线a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【考点】平行线的性质．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，然后根据∠2＝180°﹣90°﹣∠3计算即可得解．
【解答】解：如图，
由条件可知∠3＝∠1＝65°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣∠3
＝180°﹣65°﹣90°
＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是平行线的性质和直角三角板的应用，解题关键是熟记性质并准确识图．
6．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣3＜0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
【解答】解：x﹣3＜0，
移项得：x＜3，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
7．（3分）如图，点A坐标为（4，4），点C坐标为（2，0），将线段CA绕点C顺时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（ ）
A．（4，﹣4）B．（6，﹣2）C．（2，﹣4）D．（4，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，先求出OD＝4，AD＝4，OC＝2，CD＝2，再证出△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质可得CE＝AD＝4，BE＝CD＝2，则OE＝6，由此即可得．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
由条件可知OD＝4，AD＝4，OC＝2，
∴CD＝OD﹣OC＝2，
由旋转性质可知：AC＝CB，∠ACB＝90°，且点B位于第四象限，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝4，BE＝CD＝2，
∴OE＝OC+CE＝6，
∴点B的坐标是（6，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了点坐标与图形、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
8．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R之间的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】A
【分析】先根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，再把（6，2）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∴k＝3×4＝12，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】D
【分析】设甲每小时做x个盒子，根据“乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍”，则乙每小时做2x个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟”，列出方程即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意是关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＜0；③；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝2；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．
【答案】C
【分析】由图象函数与x轴有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＞0；由图象得a＜0，c＞0，由对称轴得b＝﹣2a＞0，2a+b＝0，bc＞0，则abc＜0；抛物线与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间，由对称性知另一个交点在（﹣1，0），（0，0）之间，得 y＝a﹣b+c＜0，于是；结合x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，得出，即x1+x2＝2．
【解答】解：由条件可知Δ＝b2﹣4ac＞0；
故①错误的；
由图象函数的开口向下，得a＜0，与y轴交于正半轴，c＞0，
对称轴为直线x＝1，b＝﹣2a＞0，
则bc＞0，
∴abc＜0，
故②正确；
抛物线与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间，对称轴为x＝1，故知另一个交点在（﹣1，0），（0，0）之间，故x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，得，
故③正确；
由，a＜0，c＞0知，
∵x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，
∴得出，
即x1+x2＝2．
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（3分）计算＝ ﹣1﹣ ．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；绝对值．
【答案】．
【分析】利用负整数指数幂的运算，绝对值的性质，实数的运算法则来进行计算求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂的运算，绝对值的性质，实数的运算，理解运算法则是解答关键．
12．（3分）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 9.6×106 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【答案】见试题解答内容
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故答案为9.6×106．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，直线HG与⊙O相切于点B，则∠CBG＝ 36 °．
【考点】正多边形和圆；圆周角定理；切线的性质．
【答案】36°．
【分析】连接OB，OC，多边形是正五边形，可求出∠COB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OCB的度数，利用切线的性质求出∠CBG即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
【解答】解：连接OB，OC，
∵，
∵OC＝OB，
∴，
∵直线HG与⊙O相切于点B，
∴∠OBG＝90°，
∴∠CBG＝90°﹣54°＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点，正确进行计算是解题关键．
14．（3分）截止2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】．
【分析】利用树状图展示12种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：记孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者分别为A，B，C，D，
如图：
由图知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的有2种结果，
所以两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查利用树状图和列表法求概率，解题的关键在于根据题意画出树状图．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，，BC＝4，∠C＝45°．若点D是AC边上的一点，将△BCD沿BD所在直线翻折得到△BDF，BF交AC于E，DF∥AB，则AC＝ ，DE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【答案】，．
【分析】过B点作BG⊥AC，得到等腰直角△BCG和直角△BAG．通过等腰直角三角形的性质和勾股定理即可计算CG和AG的长度，即得出AC的长度；根据∠ABE＝∠C和共用∠A，证明△ABE～△ACB，即可计算AD长度，再通过证明∠ABD＝∠ADB，可知道△ABD为等腰三角形，即，DE即AD长度减AE长度．
【解答】解：如图，过B点作BG⊥AC，垂足为点G，
∴∠BGA＝∠BAG＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCG为等腰直角三角形，△BAG为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴∠ABE＝∠BFD，
根据题意∠BFD＝∠C，
∴∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
即，
解得，
∵∠ADB＝∠CBD+∠C，∠ABD＝∠ABE+∠EBD，∠EBD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴即△ABD为等腰三角形，，
∴．
故答案为：；．
【点评】本题考查图形折叠的性质、相似三角形和等腰直角三角形的判定和性质．作出BG⊥AC这条辅助线结合勾股定理是解题关键．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值．
【答案】，．
【分析】先把分式的分子、分母因式分解，约掉公因式变为，再同分母分式相加化简整理，最后把代入化简后的式子计算，即可解题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝；
把，代入上式得，
上式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，将分式化到最简是解题的关键．
17．（8分）如图在▱ABCD中，AE交BC于E，EF∥AB，
（1）通过图中的作图痕迹判断四边形ABEF的形状并证明你的结论；
（2）请你添加一个条件使得四边形ABEF为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）．
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定．
【答案】（1）四边形ABEF为菱形，理由见解析；
（2）当∠B＝90°时，四边形ABEF为正方形
【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定证明BA＝BE，再证四边形ABEF为平行四边形，从而得四边形ABEF为菱形．
（2）根据正方形的判定求解即可．
【解答】解：（1）四边形ABEF为菱形．
理由如下：通过作图可知，AE为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE．
∵AF∥BE，
又∵AB∥EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF为菱形．
（2）当∠B＝90°时，四边形ABEF为正方形，
∵∠B＝90°，由（1）得四边形ABEF为菱形，
∴四边形ABEF为正方形．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，等角对等边，尺规作角平分线，菱形的判定，熟练掌握正方形的判定，尺规作角平分线，菱形的判定是解题的关键．
18．（8分）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点D处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°，测得国旗杆AB底端B的俯角为60°，求国旗杆AB的高度（，，结果精确到0.1米）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】学校国旗杆的高度约为21.2米．
【分析】过点A作AF⊥DE于F，证明AF＝DF，在Rt△BDF中，，，得到即可．
【解答】解：过点A作AF⊥DE于F，
∴∠DFB＝90°，
∵∠FDA＝45°，
∴AF＝DF，
∵∠FDB＝60°，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：学校国旗杆的高度约为21.2米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
19．（8分）为了迎接学校的体育运动节，体育老师想了解女生一分钟仰卧起坐（个数）的情况，特抽查了九年级部分女生的一分钟仰卧起坐（个数）情况，按成绩（10分制）分为A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图表，
（1）表中m＝ 16 ；扇形统计图中，等级C所占百分比是 28% ．
（2）九年级有女生300人，估计成绩为9.5分及以上的有多少人？
（3）通过对统计图表的分析，请你对九年级的女生提出一条好的建议．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【答案】（1）16，28%；
（2）156人；
（3）建议女生平时多加强锻炼，科学训练提高成绩达到A等级．
【分析】（1）先求得调查学生数，然后减去A、C、D、E的频数即可求得m的值；然后求等级C所占百分比即可解答；
（2）用300乘以9.5分及以上学生所占的百分比即可解答；
（3）根据扇形统计图进行分析即可解答．
【解答】解：（1）调查学生数为：人，
则m＝16；
等级C所占百分比为．
故答案为：16，28%．
（2）由条件可知成绩为9.5分及以上的女生有0.52×300＝156人．
（3）建议女生平时多加强锻炼，科学训练提高成绩达到A等级．
【点评】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体等知识点，从统计图上获取所需信息成为解题的关键．
20．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第二，四象限分别交于A（﹣6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1≥y2时，x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）一次函数，反比例函数；
（2）8；
（3）当x≤﹣6或0＜x≤2时，y1≥y2．
【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将B（a，﹣3）代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图象与y轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的x取值范围即可．
【解答】解：（1）把A（﹣6，1）代入函数，
解得：m＝﹣6，
∴，
∵B（a，﹣3）点在反比例函数图象上，
∴﹣3a＝﹣6，
解得：a＝2，
∴B（2，﹣3），
∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴令x＝0，解得：y＝﹣2，
则直线AB交y轴于点C（0，﹣2），
∵A（﹣6，1），B（2，﹣3），
∴；
（3）由图可知x≤﹣6或0＜x≤2时，y1≥y2．
【点评】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键．
21．（8分）如图，AB，BC分别与⊙O相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线CD过点G，且CD∥AB，CD交BC于C点，且BE+CG＝BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OB＝6，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积（保留根号和π）．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OE，OF，OG，OC，由切线的性质可得BE＝BF，从而可证得CG＝CF，再证△OFC≌△OGC（SSS），可得∠OGC＝∠OFC＝90°，可证得结论；
（2）先证得∠EBO＝60°，在Rt△BOE中，，在Rt△COF中，，可得，再根据S阴影＝2S△OCF﹣S扇形FOG可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，OF，OG，OC，
∵AB，BC是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴BE＝BF，
∵BE+CG＝BC，
∴BE+CG＝BE+CF，
∴CG＝CF．
在△OFC和△OGC中，
，
∵△OFC≌△OGC（SSS），
∴∠OGC＝∠OFC＝90°，
∴OG⊥CD，
∵OG是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°．
∵∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝120°，
∴∠EBO＝60°．
∴，
∴，
∴，
．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，不规则图形的面积以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
22．（8分）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元．
（1）求购买一套桌椅需多少钱？
（2）求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由；
（3）如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用．
【答案】（1）购买一套桌椅需要100元；
（2）y＝﹣4x2+20x+1200（2≤x≤5）；不能达到，理由见解析；
（3）降价4元．
【分析】（1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元，根据题意列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，由y＝1250，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）令y＝1216，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元．
依题意可得，
解得，
m+n＝100，
答：购买一套桌椅需要100元；
（2）不能达到，理由如下：
y＝（120﹣x﹣100）（60+4x）
＝．
自变量x的取值范围是，
解得2≤x≤5（x为整数），
由题意得﹣4x2+20x+1200＝1250．
Δ＝﹣400＜0，此方程无解，
∴利润不能达到1250元；
（3）由题意得，
∴x1＝1，x2＝4．
∴由条件可知x＝4，
即降价4元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（8分）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小明同学将图1中的△BEF绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论：
①＝ ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 30° ．
（2）小明同学继续将△BEF绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求△AEF的面积；
（3）在△BEF绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记△AEF的面积为S，直接写出S的取值范围．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）①；
②30°；
（2）；
（3）．
【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质，以及特殊角的锐角三角函数值，证明△ABE∽△DBF，再结合相似三角形性质求解，即可解题；
②延长AE与DF交于点M，记AE交BD于点N，利用相似三角形性质和三角形内角和定理求解，即可解题；
（2）过点A作AG⊥DF于点G，利用线段中点特点和锐角三角函数求出EF，结合相似三角形性质，直角三角形性质，勾股定理求出AG，最后根据三角形面积公式求解，即可解题；
（3）根据在△BEF绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，△AEF的底边EF长度不变，找出△AEF高最大，以及最小的情况求解，即可解题．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
由旋转的性质可知，∠EBF＝∠ABD＝30°，∠ABE＝∠DBF，
∴，
∴△ABE∽△DBF，
∴；
故答案为：；
②延长AE与DF交于点M，记AE交BD于点N，
∵△ABE∽△DBF，
∴∠BAN＝∠MDN，
∵∠DNM＝∠ANB，
∴∠M＝∠ABN＝30°，
即直线AE与DF所夹锐角的度数为30°；
故答案为：30°；
（2）点E是边AB的中点，，如图3，过点A作AG⊥DF于点G，
∴，
∵，
∴，
解得EF＝1，
由①同理可证△ABE∽△DBF，
∴∠BAE＝∠BDF，
∴∠BDE+∠DEO+∠DOE＝∠BAO+∠ABO+∠AOB＝180°，
∴∠AED＝∠ABD＝30°，
∴，
∵，
∴，
解得BD＝4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
∵△ABE∽△DBF，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）S的取值范围为．理由如下：
在△BEF绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，△AEF的底边EF长度不变，
当A，E，F三点共线时，如图4，△AEF面积最小，即0＜S△AEF，
记△AEF边EF上的高为h，根据垂线段最短可知h≤AE，
当AB，AE重合时，如图5，△AEF的高最大为AE，此时△AEF面积最大，
∵，
∴，
∵EF＝1，
∴，即，
综上所述，S的取值范围为．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．（11分）如图抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，若新抛物线的顶点G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；理由见解答过程；
（2）①；理由见解答过程；
②周长l的最大值为；
（3）；理由见解答过程．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx﹣2即可求解；
（2）①对于抛物线，令x＝0，得到C（0，﹣2），采用待定系数法求得直线BC的解析式为，进而得到，，从而表示出，PM＝|4t﹣t2|，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即﹣1＜t≤0；点P在点M的右侧，即0＜t＜4，进行化简即可；
②根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在△ABC内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的解析式为；理由如下：
抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0）和B（4，0）两点，把点A，点B的坐标代入得：
，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）①l关于t的函数关系式为．理由如下：
对于抛物线，
当x＝0时，得：y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，把点B，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t，
∴，
∵PM∥x轴，
∴点M的纵坐标为，
把代入函数，得，
解得x＝t2﹣3t，
∴，
∴，PM＝|t﹣（t2﹣3t）|＝|4t﹣t2|，
∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为，
∴若点P在点M的左侧，即当﹣1＜t≤0时，
，
若点P在点M的右侧，即当0＜t＜4时，
，
综上所述，l关于t的函数关系式为；
②当﹣1＜t≤0时，，
∴当时，l随着t的增大而减小，
当t＝﹣1时，l＝10，当t＝0时，l＝4，
∴4≤l＜10；
当0＜t＜4时，，
∴当时，l有最大值，为，
当t＝0时，l＝4，当t＝4时，l＝0，
∴；
综上所述，周长l的最大值为．
（3）．理由如下：
∵抛物线，顶点坐标为，
∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，新抛物线的顶点G为，
由点A（﹣1，0），C（0，﹣2）可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
对于直线AC：y＝﹣2x﹣2，令，则，
解得．
对于直线，令，则，
解得．
∵点G在△ABC内（不含边界），
∴，
∴．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
9．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
11．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
12．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
13．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
14．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
15．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
16．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
17．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
18．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
19．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
20．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
21．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
22．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
27．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
28．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
29．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
30．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
31．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
32．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
33．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
34．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
35．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
36．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
37．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
38．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
39．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
40．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
41．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
42．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
43．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
44．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
45．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
46．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
47．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
48．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
49．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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等级（分数）
成绩（个数）
人数
A（10分）
54≤x
10
B（9.5分）
51≤x＜54
m
C（9分）
48≤x＜51
14
D（8.5分）
45≤x＜48
5
E（8分）
42≤x＜45
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
B
D
A
B
C
B
A
D
C
等级（分数）
成绩（个数）
人数
A（10分）
54≤x
10
B（9.5分）
51≤x＜54
m
C（9分）
48≤x＜51
14
D（8.5分）
45≤x＜48
5
E（8分）
42≤x＜45
5