备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）专题16 相似三角形（原卷版）

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►考向一 相似三角形的判定
1．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
►考向二 相似三角形的判定与性质综合
3．（2024·浙江·中考真题）如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（ ）
A．B．C．3D．9
4．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
7．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
9．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
10．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
►考向三 相似三角形的性质
11．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
►考向四 相似三角形的实际应用
14．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
15．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
16．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
►考向一 位似图形
17．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
►考向二 坐标系与位似图形
18．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为O0,0，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
20．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ．
1．（2024·广东·模拟预测）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·三模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论：
I 与是相似三角形；
Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都正确B．Ⅰ，Ⅱ都不正确
C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
6．（2024·浙江·二模）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ）
A．86B．84C．80D．78
7．（2024·广西·模拟预测）若两个等边三角形的边长比是，则它们的周长比是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·云南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ）

A．6B．5C．4D．3
9．（2024·山西·模拟预测）如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于，，，，五点，若线段，则线段的长等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰中，，顶点A为反比例函数（其中）图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作，交反比例函数的图像于点C，连接交于点D，若，，则的面积为（ ）
A．B．6C．D．5
11．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加1米B．减少1米C．增加2米D．减少2米
二、填空题
13．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
14．（2024·云南·模拟预测）如图，，，则为 ．
15．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ．
16．（2024·北京·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m．
17．（2024·全国·模拟预测）如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上，设矩形铁皮的边，矩形的面积为，要使矩形面积的最大．则的取值为 ．
18．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交AB于点P，若，则的长为 ．
19．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，为中点，为上一点，且，过点作交的延长线于点，交于点，则的值为 ．
20．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ．
三、解答题
21．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度．
22．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）．
23．（2024·浙江·模拟预测）具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为 的测量方案存在问题，并提出修改建议．
(2)结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由．
24．（2024·浙江·模拟预测）如图，在正五边形中，连结交于点F
(1)求的度数．
(2)已知，求的长．
25．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
26．（2024·上海·三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．

(1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
(2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由．
课标要求
考点
考向
1.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。
2.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方。
3.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
5.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA， cs A, tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。
相似三角形
考向一 相似三角形的判定
考向二 相似三角形的判定与综合
考向三 相似三角形的性质
考向四 相似三角形的实际应用
位似
考向一 位似图形
考向二 坐标系与位似图形
考点一 相似三角形
解题技巧/易错易混
相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
解题技巧/易错易混
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
考点二 位似
解题技巧/易错易混
位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．
课题：测量大门高度

小明的研究报告
小红的研究报告
测量
示意图
测量方案与测量
在点处用距离地面高度为的测角仪测出大门顶端的仰角
在点处放一面镜子，他站在的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是，他到大门的距离是，
参考数据
，，，
，，，
计算大门高度