安徽省芜湖市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题 含解析

这是一份安徽省芜湖市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题 含解析，共17页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解方程得到，利用并集求出答案.
【详解】，故.
故选：A
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可判断.
【详解】的否定是，
故选：C.
3. 若实数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得.
【详解】由可知，则，代入得：，
当时等号成立，即当时，取得最小值.
故选：D.
4. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断和单调性，判断选项.
【详解】对于选项A，,所以是偶函数，且在单调递增，故A正确.
对于选项B，非奇非偶，故B错误；
对于选项C，，所以是奇函数，故C错误；
对于选项D，，所以是偶函数，但是在有增有减，故D错误.\
故选：A
5. “古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值.
【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则，
所以.
故选：B
6. 函数的部分图象如图所示，则可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合函数定义域、奇偶性及当时值情况判断即得.
【详解】对于A，函数的定义域为R，，
函数是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意，A不是；
对于B，函数的定义域为，图象不过原点，不符合题意，B不是；
对于C，函数的定义域为R，，函数是奇函数，
图象关于原点对称，当时，的图象恒在函数的上方，恒有，符合题意，C是；
对于D，当时，，则，
而函数在上的取值集合是，
因此函数在上无最大值，不符合题意，D不是.
故选：C
7. 已知，则以下四个数中最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，推导出，再利用对数的单调性可得出结论.
【详解】当时，如下图所示：

设锐角，锐角的终边交单位圆于点，
设射线交过点且与单位圆相切的直线于点，过点作轴，垂足为点，
则，，，
因为，即，即，
因为，则，，所以，，，
又因为，则，所以，，
所以，，
故选：D.
8. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对两边取对数，得到，继而换元，令，再结合求解二次函数的最值问题，即可求得答案.
【详解】由，设，
故，
令，则，
当时，取到最大值，
故y的最大值为，即函数的最大值为，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题.
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知角的顶点在平面直角坐标系原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转后与角的终边重合，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义及诱导公式求解即得.
【详解】依题意，，A错误，B正确；
又，因此，，C正确，D错误.
故选：BC
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 是偶函数
C. 的值域为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由分母不为0判断A,奇偶性定义判断B,分离参数求解值域判断C;代值化简判断D.
【详解】有意义,则解得，故的定义域为，A错；
的定义域关于原点对称，且，故是偶函数，B对；
,
令，易知在单调递增，
故或，即的值域为，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用诱导公式整体求值判断A,同角三角函数基本关系判断B,利用二倍角余弦公式判断CD.
【详解】已知，则,A正确；
因为,则，故，故B错误；
，C正确；
，故，D正确.
故选：ACD
12. 已知函数，则（ ）
A. 是周期函数
B. 的最小值是
C. 的图象至少有一条对称轴
D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】由周期定义判断A，整体和复合函数思想判断BD，对称性质判断C.
【详解】若是周期函数，则存在非零常数, 使得，
化简得，则，
或，可知均与x有关，故非零常数不存在，A错误；
令，则，故的最小值是，故B正确；
结合B选项，因为，
故图象的对称轴为，故C正确；
由B易知：在单调递增，且，故单调递增，
由复合函数单调性知在上单调递增，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数性质及应用，注意复合函数思想应用判断BD.
三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分．）
13. 若幂函数的图象经过点，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和过点，求解解析式.
【详解】根据幂函数，则，
又由过点，所以，
故，所以.
故答案为：.
14. 已知函数为奇函数，则实数_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值.
【详解】设，则，可得，即函数的定义域为，
则，即，
即，解得.
故答案为：.
15. 已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
详解】当时，由可得，
问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：

当直线经过点时，则有，可得；
当直线经过点时，则有，可得.
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 若函数与在区间单调性一致，则的最大值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】要考虑的最大值，只需考虑，当时，求出、的取值范围，利用正弦型函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的最大值.
【详解】要考虑的最大值，只需考虑，
当时，则，，
所以，函数与在区间上同时单调递增，
则，解得，故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共44分．）
17. 化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】17.
18. -1
【解析】
【分析】（1）根据指数运算法则计算出答案；
（2）根据对数运算法则得到答案.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式．
18. 如图，动点从边长为2的正方形的顶点开始，顺次经过点绕正方形的边界运动，最后回到点，用表示点运动的的路程，表示的面积，求函数．（当点在上时，规定）
【答案】
【解析】
【分析】依据动点的运动情况分类讨论求面积即可.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简的解析式，再利用单调性质求解；
（2）由图象变换得解析式，再利用整体法求值域.
【小问1详解】
因为，
令，得,
所以的单调递增区间为．
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，
当，故，
所以的值域为．
20. 设函数，关于的一元二次不等式的解集为．
（1）求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.
（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.
【小问1详解】
因为一元二次不等式的解集为，
所以和1是方程的两个实根，则，
解得．因此所求不等式即为：，解集为或．
【小问2详解】
可化为：，当时显然成立；
当时，对恒成立，
令，则，
当，即时，
所以，即．
21. 如图，已知是之间的一点，点到的距离分别为，且是直线上一动点，作，且使与直线交于点．设．

（1）若，求的最小值；
（2）若，求周长的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，即，进而利用基本不等式即可求解；
（2）由题意可得，由勾股定理得，进而得的周长，令，利用辅助角公式求的取值范围，在利用同角三角函数的基本关系得，从而进行化简并利用函数的单调性求最小值.
小问1详解】
由题意知，，
于是，则.
当时，，即，
所以，又，
于是，
当且仅当，时，等号成立．
故最小值为.
【小问2详解】
由题意知：，
因为，所以，
又中，
所以的周长，
令，
由得，
所以周长，
易知函数在上单调递减，
所以当，即时周长最小，最小值为．
故当时，周长最小值为.
22. 已知函数．
（1）若，且图象关于对称，求实数的值；
（2）若，
（i）方程恰有一个实根，求实数的取值范围；
（ii）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）．
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性与对称性待定系数计算即可；
（2）（i）利用对数函数的单调性含参讨论解方程即可；（ii）利用复合函数单调性先确定单调递减，借助函数单调性将条件不等式转化为对任意的恒成立，变换主元利用二次函数的性质及计算即可.
【小问1详解】
由题意知图象关于对称，
所以为偶函数，
即，
所以，故；
【小问2详解】
由题意知，
（i）方程，所以，
整理可得，，即，
当时，方程有唯一解，此时，不符合条件；
当时，同上，解方程得，也不符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足，则，
若满足，则，
显然若时，无解，
若时，有两解，
所以当时方程恰有一个实根，
综上，实数的取值范围为；
（ii）令，则在上为减函数，而在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
所以，
因为，即对任意的恒成立，
设，
又，所以函数在单调递增，
所以，所以．
【点睛】思路点睛：第二问第一小问带有参数的方程只有一根，故含参分类讨论即可；第二小问，不等式在定区间恒成立问题，借助函数的单调性脱去函数符号，将不等式等价变形，因为不等式含有双变量，故变换主元转化为二次函数，借助二次函数的图象与性质计算即可.