河北省2024年中考数学试卷附真题解析

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降，
故答案为：A
【分析】根据有理数的大小比较即可得到气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降，进而画图即可求解。​​​​​​​
2．下列运算正确的是（ ）
A．a7﹣a3＝a4B．3a2•2a2＝6a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a4÷a4＝a
【答案】C
【解析】【解答】解：A．，不是同类项，不能合并，A不符合题意；
B．，计算错误，B不符合题意；
C．，C符合题意；
D．，计算错误，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法结合题意对选项逐一计算即可求解。​​​​​​​
3．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDOD．AC∥BD
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴A选项符合题意，
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形的性质得到，，进而根据平行线的判定结合图形即可求解。​​​​​​​
4．下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式5x﹣1＜6得，
∴能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为1，
故答案为：A.
【分析】先根据题意解不等式，进而对比选项即可发现只有1符合题意，从而即可求解。​​​​​​​
5．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
【答案】B
【解析】【解答】解：由作图痕迹得画的是三角形AC边上的高，
∴线段BD一定是△ABC的高，
故答案为：B
【分析】根据作图-三角形的高结合尺规作图即可求解。​​​​​​​
6．如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得它的左视图是
故答案为：D
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意画出其左视图即可求解。
7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若x＝5，则y＝100B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【解析】【解答】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天，
∴，
∴，
当时，，选项正确，
A不符合题意；
当时，，选项正确，
B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，选项错误，
C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，选项正确，
D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据“淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天”得到反比例函数关系式，进而根据反比例函数的图象与性质结合选项逐一分析即可求解。
8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a+3＝8bB．3a＝8bC．a+3＝b8D．3a＝8+b
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据等式得到，进而根据同底数幂的乘法即可得到，从而即可求解。
9．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（ ）
A．1B．﹣1C．+1D．1或+1
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
解得或（舍）
故答案为：C
【分析】先根据“计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1”列出一元二次方程，进而用公式法解方程即可求解。
10．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1＝∠3，AASB．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AASD．∠2＝∠3，ASA
【答案】D
【解析】【解答】证明：∵，
∴．
∵，，，
∴①．
又∵，，
∴（②）．
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：D
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，进而根据题意等量代换得到，再结合三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定即可求解。
11．直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115°B．120°C．135°D．144°
【答案】B
【解析】【解答】解：解：由题意得正六边形每个内角为，六边形MBCDEN的内角和为，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据正多边形的内角和内角和得到正六边形每个内角为，六边形的内角和为，进而即可得到，从而得到，再根据“”代入化简即可求解。
12．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B
【解析】【解答】解：设，，，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∴，，，
∵，
又∵，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B，
故答案为：B
【分析】设，，，进而根据矩形的性质得到，，从而即看得到，，，再根据，结合“特征值”的定义即可求解。
13．已知A为整式，若计算的结果为，则A＝（ ）
A．xB．yC．x+yD．x﹣y
【答案】A
【解析】【解答】解：∵的结果为，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据分式的混合运算结合题意进行计算即可求解。
14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设该扇面所在圆的半径为，由题意得，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴m与n为正比例关系式，图像应为过原点的一条直线，
故答案为：C
【分析】设该扇面所在圆的半径为，进而根据扇形的面积公式得到，从而得到，再结合题意求出，相比即可得到正比例函数关系式。
15．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为4100a+1025
【答案】D
【解析】【解答】解：解：设一个三位数与一个两位数分别为和，如图所示：
由题意得，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意；
当时，则，如图所示：
∴“20”左边的数是，A不符合题意；
“20”右边的“□”表示4，B不符合题意；
∴上面的数应为，如图所示：
∴运算结果可以表示为，
∴D符合题意，
当时，计算的结果大于6000，C不符合题意，
故答案为：D
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，由题意得，进而即可得到，从而即可得到当时，不是正整数，当时，则，进而画图即可得到“20”左边的数是，“20”右边的“□”表示4，再根据题意结合整式的混合运算即可得到，从而即可判断D，再结合题意计算当a=2时的数值即可判断C.
16．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（ ）
A．（6，1）或（7，1）B．（15，﹣7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0）D．（5，1）或（7，1）
【答案】D
【解析】【解答】解：发现规律：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次即可求出点Q，
①先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，应向上平移1个单位得到，符合题意，点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，故最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，运动符合题意；
②先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，与原点矛盾，不符合题意；
故答案为：D
【分析】先根据例子结合题意即可发现规律：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，进而根据题意分两种情况讨论，从而逐一分析点运动的情况即可求解。
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 ．
【答案】89
【解析】【解答】解：由题意得89出现的次数最多，
∴众数为89，
故答案为：89
【分析】根据众数的定义结合题意得到89出现的次数最多，进而即可求解。
18．已知a，b，n均为正整数．
（1）若n＜＜n+1，则n＝ ；
（2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
【答案】（1）3
（2）2
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∴n=3，
故答案为：3；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴，，为连续的三个自然数，
∵，
∴，，
∵，，，，，
∴与之间的整数有个，
与之间的整数有个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），
故答案为：
【分析】（1）先根据题意估算无理数的大小得到，进而化简即可求解；
（2）先根据题意得到，，为连续的三个自然数，进而得到，，再根据平方的关系结合自然数即可得到与之间的整数有个，与之间的整数有个，从而运用整式的减法相减即可求解。
19．如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
（1）△AC1D1的面积为 ；
（2）△B1C4D3的面积为 ．
【答案】（1）1
（2）7
【解析】【解答】解：（1）连接、、、、，如图所示：
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）易证，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：
【分析】（1）连接、、、、，先根据三角形的面积及其中线的性质得到，进而根据五等分点和四等分点的定义得到，，再根据中点得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，即可求解；
（2）先证明得到，，进而结合题意得到、、三点共线，从而结合题意即可得到，，再根据题意结合相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据已知条件即可得到，进而根据“”即可求解。
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】（1）解：∵点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，
∴A，B，C三点所对应的数的和为﹣4+2+32＝30，
∵AB＝2﹣（﹣4）＝6，AC＝32﹣（﹣4）＝36，
（2）解：由数轴得，DE＝x﹣0＝x，DF＝12﹣0＝12，
由题意得，，
∴x＝2．
【解析】【分析】（1）先根据数轴分别写出A，B，C对应的数，进而相加即可得到和，再根据数轴上两点间的距离结合题意求出AB和AC，相比即可求解；
（2）先根据数轴结合数轴上两点间的距离公式得到DE＝x﹣0＝x，DF＝12﹣0＝12，进而即可得到，再结合一元一次方程即可求解。
21．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
【答案】（1）解：当a＝1，b＝﹣2时，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3．
从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为．
（2）解：补全表格如下：
共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种，
∴和为单项式的概率为．
【解析】【分析】（1）先根据题意写出这三个数，进而根据等可能的概率结合题意得到共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，从而即可求解；
（2）根据题意列出表格即可得到共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种，再根据等可能事件的概率即可求解。
22．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的长及sin∠APC的值．
【答案】（1）解：由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），
∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°．
∴CE＝PE．
（2）解：∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，
如图，过C作CH⊥AP于H，
设CH＝xm，则AH＝4xm，
∴x2+（4x）2＝AC2＝9．
∴，．
∴m．
∴．
【解析】【分析】（1）先根据题意得到PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），进而即可得到CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°，再解直角三角形即可求解；
（2）先根据勾股定理求出CP，过C作CH⊥AP于H，根据锐角三角形函数的定义结合题意设CH＝xm，则AH＝4xm，根据勾股定理求出x即CH的长，从而解直角三角形即可求解。
23．情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段EF的长；
（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．
【答案】（1）解：过G'作G'K⊥FH'于K，结合题意可得：四边形FOG'K为矩形，如图所示：
∴FO＝KG'，
由拼接可得：HF＝FO＝KG'，
由正方形的性质可得：∠A＝45°，
∴△AHG，ΔH'G'D，△AFE为等腰直角三角形，
∴△GKH'为等腰直角三角形，
设H'K＝KG'＝x，
∴H'G'＝H'D＝x，
∴，HF＝FO＝x，
∵正方形的边长为2，
∴对角线的长，
，
解得：，
∴；
（2） 解：∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1；
∴，
∴，
∵，，
∴BE＝GE＝AH＝GH；
如图，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P'，交AB于Q'，则直线P'Q'为分割线，
此时，，符合要求，
或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线，
此时，
综上：BP的长为或．
【解析】【分析】（1）过G'作G'K⊥FH'于K，结合题意可得：四边形FOG'K为矩形，进而根据矩形的性质得到FO＝KG'，由拼接可得：HF＝FO＝KG'，由正方形的性质可得：∠A＝45°，再结合题意得到△GKH'为等腰直角三角形，设H'K＝KG'＝x，根据等腰直角三角形的性质得到H'G'＝H'D＝x，，HF＝FO＝x，进而根据勾股定理求出对角线的长，从而得到OA，再根据题意即可求出x，从而根据“”即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到BE，再根据题意得到BE＝GE＝AH＝GH，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P'，交AB于Q'，则直线P'Q'为分割线，此时，，符合要求，或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线，此时，从而即可求出BP，最后总结即可求解。
24．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当0≤x＜p时，；
当p≤x≤150时，．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；
（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；
（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
【答案】（1）解：当p＝100时，甲的报告成绩为：（分），
乙的探告成绩为：（分）；
（2）解：设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为（x1﹣40）分，
①0≤x＜p时，y丙＝92＝…①，
，
由①﹣②得：，
，故不成立，舍；
②p≤x1﹣40≤150时，y丙③，……④，
由③﹣④得：，
∴92＝+80，
∴，故不成立，舍；
③0≤x1﹣40＜p，p≤x1≤150时，
y丙＝92＝+80…⑤，
……⑥，
联立⑤⑥解得：p＝125，x1＝140，且符合题意，
综上所述p＝125；
（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴中位数为130；
②当p＞130时，则，
解得，
故不成立，舍；
当p≤130时，
则，
解得p＝110，符合题意，
∴．由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100﹣（1+2+2）＝95，
∴合格率为：．
【解析】【分析】（1）根据题目的公式结合题意代入数值即可求出报告成绩；
（2）设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为（x1﹣40）分，进而分类：①0≤x＜p时，②p≤x1﹣40≤150时，③0≤x1﹣40＜p，p≤x1≤150时，分别表示出y丙和y丁，进而联立计算即可求解；
（3）①根据中位数的定义结合题意即可求解；
②根据题意分类讨论：当p＞130时，当p≤130时，进而结合题意代入数值解分式方程即可求出p，从而计算合格率即可求解。
25．已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到BC的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
【答案】（1）解：如图，连接OA，OB，
∵⊙O的半径为3，AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴的长为＝π，
∴劣弧的长为π；
（2）解：过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图：
∵OA∥MN，
∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°，
∴四边形BIOH是矩形，
∴BH＝OI，BI＝OH，
∵，OH⊥MN，
∴，
而OM＝3，
∴点B到OA的距离为2；
∵AB＝3，BI⊥OA，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图：
∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直，
∴AC过圆心，
∴四边形KOJB为矩形，
∴OJ＝KB，
∵AB＝3，，
∴
∴，
∴，
∴，即；
②d的最小值为．
【解析】【解答】解：（3）②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B'C'于L，过O作OJ⊥BC于J，
∵∠OJL＞90°，
∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小，
过A作AQ⊥OB于Q，
∵B为MN中点，
∴OB⊥MN，
同（2）可得OB＝2，
∴BQ＝OQ＝1，
∴，
∵∠ABC＝90°＝∠AQB，
∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ，
∴∠OBJ＝∠BAQ，
∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ，
∴，
设OJ＝m，则，
∵OJ2+BJ2＝OB2，
∴，
解得：（m的负值已舍去），
∴CJ的最小值为.
故答案为：d的最小值为．
【分析】（1）连接OA，OB，先根据圆的半径结合题意得到OA＝OB＝AB＝3，进而根据等边三角形的判定与性质得到∠AOB＝60°，再根据弧长的计算公式即可求解；
（2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，根据平行线的性质得到∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°，进而根据矩形的判定与性质得到BH＝OI，BI＝OH，再求出OM和MN，用勾股定理即可求出OH，从而即可得到BI，再结合题意运用勾股定理求出AI，从而结合题意即可求解；
（3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，根据切线的性质结合矩形的判定与性质得到OJ＝KB，运用勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义结合题意即可得到AK，从而得到OJ和BK即可求解；
②当B为MN中点时，过O作OL⊥B'C'于L，过O作OJ⊥BC于J，先根据题意得到OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小，过A作AQ⊥OB于Q，先根据等腰三角形的性质得到OB⊥MN，同（2）可得OB＝2，进而即可得到BQ＝OQ＝1，运用勾股定理求出AQ，再结合题意证明tan∠OBJ＝tan∠BAQ，从而根据锐角三角函数的定义设OJ＝m，则，根据勾股定理解方程即可求出m，从而即可求解。
26．如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
【答案】（1）解：∵抛物线过点（4，0），顶点为Q，
∴16a﹣8＝0，
解得，
∴抛物线为，
∴Q（2，﹣2）；
（2）解：把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），
当x＝0时，，
∴（0，﹣2）在C2上，
∴嘉嘉说法正确；
当x＝0时，y＝﹣2，
过定点（0，﹣2），
∴淇淇说法正确；
（3）解：①当t＝4时，
∴顶点P（4，6），
而Q（2，﹣2），
设PQ为y＝cx+f，
∴，
解得
∴PQ为y＝4x﹣10；
②如图，当（等于两直线重合不符合题意），
∴交点，交点，
由直线l∥PQ，
设直线l为y＝4x+b，
，
解得，
∴直线l为，
当时，，
此时直线l与x轴交点的横坐标为，
同理当直线l过点，
直线l为，
当时，，
此时直线l与x轴交点的横坐标为．
（4）解：
∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，
∴四边形APBQ是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，
∵P（2，﹣2），，
∴的横坐标为，
∵，，
∴的横坐标为，
∴，
解得.
【解析】【分析】（1）先将点代入求出a，进而即可函数的解析式，再将函数的解析式转化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）嘉嘉说法：先根据平移-坐标的变化得到把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），再结合二次函数图象上点的坐标特征即可求解；淇淇说法：把C2的解析式化成一般式，发现当x＝0时，无论t取何值，总有y＝﹣2，即可得总经过的定点.
（3）①先将t=4代入得到函数解析式，进而得到P和Q的坐标，再运用待定系数法求出直线PQ的函数解析式即可求解；
②作，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，进而求出l与轴的交点坐标即可求解；
（4）根据二次函数图象的几何变换得到C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，进而得到四边形APBQ是平行四边形，再结合题意得到当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，根据点P和点Q的坐标即可得到的横坐标为，进而根据点M和点N得到的横坐标为，联立求解即可。已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴① ▲ ．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB（② ▲ ）．
∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
第一次
和
第二次
a+b
2a+b
a﹣b
a+b
2a+2b

2a
2a+b



a﹣b
2a


第一次
和
第二次
a+b
2a+b
a﹣b
a+b
2a+2b
3a+2b
2a
2a+b
3a+2b
4a+2b
3a
a﹣b
2a
3a
2a﹣2b
原始成绩（分）
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
人数
1
2
2
5
8
10
7
16
20
15
9
5