四川省乐山市普通高中2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

这是一份四川省乐山市普通高中2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，直线平行，则实数（ ）
A．B．C．或D．不存在
4．如图，在平行六面体中，设，，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
6．已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（ ）
A．B．C．D．
7．某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）.
A．2.5米B．2.7米C．2.9米D．3.1米
8．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知和，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆相交，有两个公共点
B．两圆的公共弦所在直线方程为
C．两圆公共弦长度为
D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为
11．已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为6
B．若点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是
C．若直线的倾斜角为，则
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，则 .
13．已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为 .
14．已知P是双曲线上一点，过点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足为A，B，且，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆C的方程为.
(1)求圆C关于直线对称的圆的方程；
(2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值.
16．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，M是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求点M到平面的距离.
17．已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求.
18．如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得.
(1)证明：；
(2)求PC与平面PAD所成角的正弦值；
(3)求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值.
19．动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点P的轨迹方程E；
(2)过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点，
①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值；
②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，抛物线的准线方程为，故选D.
2．【答案】B
【详解】，则直线斜率为，
则直线倾斜角满足.
故选：B
3．【答案】A
【详解】由题可得，
解得.
故选：A
4．【答案】D
【详解】.
故选：D
5．【答案】C
【详解】法一：点到直线的距离为，
，
令，当时，，
当时，，由对勾函数的性质可知，
所以，所以，
所以.
法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即.
故选：C.
6．【答案】B
【详解】由题知，，，
所以
.
故选：B
7．【答案】C
【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，
则，，，，
设圆拱桥所在圆的方程为，
由已知得：；
解得，.
故圆的方程为
令，解得
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.9（米），
故选：C.
8．【答案】D
【详解】如图：
因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
所以椭圆的蒙日圆C的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，
当时，等号成立.
所以面积的最大值为：.
由面积的最大值为25，得，得，
进而有，，
故椭圆的长轴长为.
故选：D
9．【答案】BD
【详解】A：，A错误；
B：由知，，解得，B正确；
C：由知，，解得，C错误；
D：若，，则，D正确.
故选：BD
10．【答案】ABD
【详解】因为：，所以，.
：，所以，.
所以.
对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确；
对B选项：由，
所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确；
对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误；
对D选项：设所求圆的方程为：（）
整理得：.
因为圆心在直线上，所以.
所以所求圆的方程为：即，
配方得：.故D正确.
故选：ABD
11．【答案】ACD
【详解】对于A，过点A作垂直于准线，垂足，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故A正确；
对于B，假设点N的坐标是，则，，
由直线交抛物线于A，B两点，得，两式相减得，
即，所以，
所以直线的方程为，
将代入得，
所以直线不过点，不符合题意，故B不正确；
对于C，设直线方程为，设，，
由得，所以，，
所以，
所以，故C正确；
对于D，设直线方程为，设，，
由得，所以，，
，
即，即，故D正确.
故选：ACD.
12．【答案】
【详解】.
故答案为：
13．【答案】
【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，
故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，
则圆心到直线l的距离为1，
即．
故答案为：．
14．【答案】
【详解】设渐近线的倾斜角为，则，
，，，
设，则，
则，
，
，，
的取值范围是.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1）由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1.
圆心关于对称的点为，
圆C关于直线对称的圆的方程为.
（2）即为圆上的点P到原点的距离的平方.
圆心到原点的距离为，
的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于O，连接，
四边形为矩形，为的中点.
为的中点，.
又平面，平面，
平面.
（2）解法一：平面，，.
又四边形为矩形，.
以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，即
令，则，.
设点M到平面的距离为d，
则.
所以点M到平面的距离为.
解法二：平面，，.
又，，
，，.
，即为等腰三角形.
底边边上的高.
.
为的中点，
.
设点M到平面的距离为d，则，解得.
所以点M到平面的距离为.
17．【答案】(1)
(2)6
【详解】（1），，，.
，.
双曲线的离心率.
（2）直线与双曲线交于A，B两点，
如图：
两点关于原点为O对称，设，.
又，三角形的面积为.
，.
又点在双曲线上，则.
所以，
所以.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3).
【详解】（1），，
又沿AE翻折至，，即.
平面，平面，
平面.
又平面，.
（2）
连接ED，过D作于
，
又四边形为等腰梯形，且，
又，.
又且
，即.
又，，平面，平面
平面.
以E为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系
，，，
，，.
设平面PAD的法向量为
则，即
令，则，，.
设与平面所成角为
则
与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的法向量为
则，即
令，则，，.
由（2）知平面的法向量为
.
平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）解：，
.
（2）如图所示：
①设，，，则，
联立，得，
，.
，，
，
，
联立，得.
.
.
②解法一：设，，，
，D，G共线，C，D，F共线，
，，
.
由①得，.
同理，.
.
，，.
，.
又，当时，点D的纵坐标取得最大值.
解法二：由（2）得，，两式相除可得，
又，整理可得，则.
，同理，.
由B，D，G共线得，
即①，
同理，由C，D，F共线得②，
联立①②可得.
点在椭圆上，
点D的纵坐标取得最大值.