四川省乐山市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题含答案解析

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注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断.
【详解】因为，
所以，
所以在复平面内对应的点为在第一象限.
故选：A.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若为单位向量，则B. 若为平行向量，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】由向量相等的概念进行判断即可.
【详解】由向量相等的概念可知且方向相同.
对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误；
对B：平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误；
对C：仅，不能说明，故C错误；
对D：若，则正确，故D正确.
故选：D
3. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）
A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 平行的线段在直观图中仍然平行
C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直D. 相等的角在直观图中仍然相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可.
【详解】首先分析斜二测画法的规则：
斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行；
对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等；
原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直；
相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等.
故选：B.
4. 小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（ ）
A. 0.16B. 0.64C. 0.8D. 0.96
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解.
【详解】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，
那么小王此次考核得分低于10分的概率是，
则小王此次考核得分不低于10分的概率是.
故选：C.
5. 下列命题中正确的有（ ）个
①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
③如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
④垂直于同一条直线的两条直线平行
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】对于①②，可直接进行判断；③可假设平面内存在直线垂直于平面，推出矛盾，得到③正确；④可举出反例.
【详解】①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，正确；
②过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，错误；
③假设平面内存在直线垂直于平面，则可以推出平面垂直于平面，
所以假设不成立，故③正确；
对于④，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，错误.
故选：B．
6. 某班级对60名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表：
则这次测试成绩的第80百分位数是（ ）
A. 84B. 85C. 88D. 92
【答案】C
【解析】
【分析】计算出各组的频率，根据百分位数的求解方法，即可求得答案.
【详解】由题意可知，，，，的频率依次为：
，
由于，
故这次测试成绩的第80百分位数位于内，
设为x，则，解得，
故选：C
7. 函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意先确定函数的最小正周期，即可求出，利用点的坐标可求出，即可得答案.
【详解】由题意函数的图象的一个最高点坐标为，
相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为，
故，且，
即，将代入得，即，
则，即，结合选项可知，
故选：D
8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积.
【详解】显然，两两垂直，其中，
故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，
故外接球半径为，
故三棱锥外接球表面积为.
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列推断正确的是（ ）
A. A，B，，A，B，，且A，B，C不共线重合
B.
C. 已知平面和直线l有交点，则“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且”的充要条件
D. 已知m，l是两条不同的直线，是两个不同的平面，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系的有关公理、定理逐项判断即可.
【详解】对于A．有三个不共线的点在平面中，重合，故A正确
对于B．若，则有，但，故B错误
对于C．若直线l与平面垂直，则l垂直内的任意一条直线，若平面内存在两条夹角为的直线m，n，则且，故充分性成立；
若平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且，由线面垂直的判定定理可知直线l与平面垂直，故必要性成立；
所以“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且”的充要条件．故C正确．
对于D．，则，又，设过的平面与平面的交线为，则则，所以，故D正确.
故选：ACD
10. 设向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若时，则B. 与垂直
C. 若时，则D. 若时，在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量的线性关系判断A，应用数量积公式及模长公式计算判断B，应用向量夹角余弦公式计算判断C，应用投影向量公式计算判断D.
【详解】当时，，则，A选项正确；
因为，
所以与垂直，B选项正确；
因为，所以，C选项错误；
当时，
在上的投影向量为，D选项正确；
故选：ABD.
11. 在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生进行测量．已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生体重的平均数和方差分别为45，11，则（ ）
A. 抽取的男生有50人
B. 抽取的女生有50人
C. 估计该校高三年级学生体重的平均数为50
D. 估计该校高三年级学生体重的方差为36
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分层抽样确定抽取的男生及女生判断A，B，再应用分层抽样得出平均数及方差计算求解判断C，D.
【详解】按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生抽取的男生有人，抽取的女生有人，故A正确，B错误；
由分层随机抽样样本平均数公式可得，
根据分层随机抽样样本方差公式，故C正确，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算: ________．
【答案】1
【解析】
【分析】先利用平方差公式展开，再结合即可.
【详解】.
故答案为：1
13. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．某广场设置了一些石凳供大家休息（如图），这些石凳是14个面的半正多面体，如果石凳的棱长为1，则石凳的表面积是________，体积是________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】弄清楚正方形和正三角形的个数，求其表面积；弄清楚几何体的构造，利用正方体的体积求该几何体的体积.
【详解】石凳的表面是由6个正方形和8个正三角形构成，其边长均为1，
所以其表面积为：.
如图：
该几何体是由正方体截去8个一样的三棱锥得到的，且正方体的棱长为，
截去的小三棱锥的体积为：.
所以该几何体的体积为：.
故答案为：；
14. 已知梯形ABCD，点P是梯形内一点，且满足，则三角形面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】先确定梯形ABCD的具体形状，再确定的准确位置，即可求面积.
【详解】如图：
在梯形中，因为，所以.
取中点为，中点为，
则，.
由得.
所以中点.
如图：
因为，
所以，，，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
（1）求和的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解；
（2）利用对立事件概率公式，即可求解.
【小问1详解】
将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，即，
所以．
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，
所以．
【小问2详解】
事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，
则两次摸到都是红球的概率，
故两次摸到的不都是红球的概率．
16. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图：
（1）请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图；
（2）试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）．
【答案】（1），，直方图见解析
（2）众数为，中位数为，平均数为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率，进而可得到频数.
（2）根据众数、中位数和平均数的知识进行求解即可.
【小问1详解】
第二组的频率为，
，
，
补全频率分布直方图如下：
【小问2详解】
观众年龄的众数为，
设年龄的中位数为，，
中位数位于.
则，解得，
年龄的平均数.
17. 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，边AB上的高为，求的周长．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理化简，再应用二倍角正弦计算求出角；
（2）应用面积公式求出，再结合余弦定理求出边即可得出周长.
【小问1详解】
，
，
，
，即，
，
或；
【小问2详解】
，
，
边AB上的高为，
，则，
又由余弦定理得，
，
又，
或，
的周长.
18. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先用线面平行判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理即可；
（2）先用线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的定义得出，结合，可得；
（3）先找到直线与平面所成的角，用余弦定理求出，再根据线面垂直判定定理得出平面，找到棱锥的高，计算底面梯形的面积，最后根据锥体体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
又中平面，平面，
平面，又因为平面，
平面平面，
【小问2详解】
在等边中，为中点，
侧面为矩形，．
又，平面
平面
平面，
又，
.
【小问3详解】
过作的垂线，垂足为，
由（1）（2）可知平面，
平面
又平面，
又，且两直线在平面内，
平面，
又，则就是与平面所成的角，
，
在中由余弦定理可得，
所以，易知，即为的中点，
，
又且，且两直线在平面内，
平面，
四边形为梯形且，
平面，
.
19. （1）叙述正弦定理；
（2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）；
（3）类比上述方法，解决以下问题：如图，直线l与的边AB，AC分别相交于D，E，设，试用向量的方法探究与的边角之间的等量关系．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）叙述正弦定理.
（2）利用向量法证明正弦定理.
（3）由，取的方向向量，利用探索与的边角之间的等量关系.
【详解】（1）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
即
（2）如图，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为
因为，所以
由分配律，得
即，
也即．
所以
同理，过点C作与垂直的单位向量，
可得
因此
（3）如图，中，．
设单位向量．
于是，即
过点D作BC的平行线，则
而
故．
所以
当为零角、直角、钝角时，仍然成立.
分数段
人数
6
12
18
15
9
组数
分组
频数
第一组
100
第二组
第三组
250
第四组
300
第五组
第六组
50