上海市实验学校2024−2025学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份上海市实验学校2024−2025学年高二上学期期末考试数学试题，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共10小题）
1．抛物线的准线方程为 ．
2．对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标）
3．椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ．
4．若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示）
5．已知方程表示圆，则的取值范围为 ．
6．平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ．
7．双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为 ．
8．已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ．
9．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ．
10．在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ．
二、单选题（本大题共4小题）
11．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ）
A．轴对称B．平面对称C．轴对称D．平面对称
12．如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
13．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（ ）．
A．B．C．D．
14．设直线的方程为，两不同定点、，点满足，记，若，且线段与直线有交点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题（本大题共6小题）
15．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值．
16．如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．

(1)求该圆弧所在圆的方程；
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
17．如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．
(1)求该平行六面体的表面积；
(2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角；
(3)求异面直线与的所成角．
18．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的方程；
(2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19．带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑.
(1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论.
【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分；
②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明．
(2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象．
20．已知椭圆.
(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
参考答案
1．【答案】
【详解】抛物线的准线方程为；故填.
2．【答案】
【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立，
所以，所以定点为.
故答案为：.
3．【答案】
【详解】由，得，则，
因为过的直线交椭圆于，两点，
所以的周长为
.
故答案为：
4．【答案】
【详解】因为向量是直线的一个法向量，
所以直线的一个方向向量为，
所以直线l的斜率，设直线的倾斜角为，
则，又，
所以直线l的倾斜角.
故答案为：.
5．【答案】
【详解】若方程表示圆，则，
解得，故的取值范围为，
故答案为:.
6．【答案】
【详解】因为平面经过点，所以，
又平面的法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：
7．【答案】
【详解】设双曲线的方程为，，
代入点，得，即，
所以双曲线方程为，整理为.
故答案为：
8．【答案】
【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点
设，则，，
则，
所以，，
当恰与点重合时，取得最小值，
即要使时取最小值，则必有，所以.
故答案为：.
9．【答案】
【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，，
则，
设，则，
因为‖，所以，得，
所以（），则，
设点到的距离为，则
，
所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值，
所以，
所以
故答案为：
10．【答案】
【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方，
取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点，
因为，由正弦定理可得，
设，则，
则，且，
可得，
又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
可得，，
则，可得，即x轴，
则，可得直线的斜率为，
设，则，
则，，
整理可得，解得，
又因为，
且，可得，
即，所以.
故答案为：.
11．【答案】C
【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数，
所以点和点关于轴对称.
故选：C
12．【答案】C
【解析】先根据椭圆越扁离心率越大判断，的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断，的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1，抛物线离心率大于1进行判断可得答案.
【详解】解：根据椭圆越扁离心率越大，可得，
根据双曲线开口越大离心率越大，可得，
故可得：，
故选：C.
13．【答案】D
【分析】根据已知条件可得，结合圆柱与球的体积公式计算即可.
【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，

则其轴截面如图所示，
则，
所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，
所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.
故选：D.
14．【答案】D
【详解】设,,代入直线的方程为中，
,
,
，
若，则，从而，与已知矛盾，
所以,所以,即,
又因为，所以,
故选:D
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆的方程为，
可得，
所以；
（2）设直线与椭圆交于，两点，
联立方程组，
得，
则，
由于即，
解得.
16．【答案】(1)
(2)4辆
【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为．
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，
解得．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
17．【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【详解】（1）底面是边长为1的正方形，则,,
，，
所以，
所以该平行六面体的表面积.
（2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH，
此时平面 ，，，平面，
面，
，，
，得证.
因为，则,
则，
所以 ,
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
所以侧棱与底面的所成角为.
所以，侧棱与底面的所成角为.
（3）由题意，，
，
，
所以．
而，，
则
，
所以，
所以直线与所成角为.
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）因为当直线与轴垂直时，，
且点位于第一象限内，所以设，
代入方程中得到，而，
解得，，则双曲线的方程为.
（2）由上问得双曲线的方程为，
如图，则点，的坐标分别为，
又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零，
故设其方程为，，
联立双曲线方程可得：，
设点的坐标分别为，且恒成立
则，
，
；
又直线方程为：，令，则，
故点的坐标为；直线方程为：，
令，则，故点的坐标为；
若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则，
则
，令，解得，
故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上.
（3）当直线斜率不存在时，
对曲线，令，解得，
故点的坐标为，此时，
在三角形中，，故可得，
则存在常数，使得成立；
当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，，
此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，，
假设存在常数，使得成立，即，
则一定有：，也即；
又；；
又点的坐标满足，则，
故
；
故假设成立，存在实数常数，使得成立；
综上所述，存在常数，使得恒成立.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）抽象出的数学问题：
已知抛物线上有一条长度为的动弦，求中点到轴的距离的最小值.
问题解答：
设，直线，
联立得，，
，，，
所以，
解得，
中点，
则中点到轴的距离为
，
令，设，
①当时，，
当且仅当，即时等号成立.
此时，
故直线，恒过抛物线的焦点；
②当时，在上单调递增，则.
当，即时，中点到轴的距离最小，最小值为.
此时斜率，即关于轴对称.
回归实际问题，研究结论是：
当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍处于水平位置；
当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点.
（2）由题意，小木棍长短不一，但均足够长，不妨认为木棍长度均满足.
由（1）可知，当时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点.
故将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，
它们全部交汇于同一点，即抛物线的焦点.
20．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设右焦点，左焦点，
因为四边形是正方形，
不妨设点在第一象限，则，
所以，
由，得，
正方形的内切圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为；
（3）设直线的倾斜角为，斜率为，
则直线的斜率为，
设，则，
联立，得，
同理可得，
由得，
即，
整理得，
注意到且，
则要使上述关于的一元二次方程有正数解，
只需要，解得，
所以b的最大值为.