上海市长宁区2024−2025学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份上海市长宁区2024−2025学年高二上学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．某古典概型的样本空间，事件，则 .
2．完成下列任务所获得的数据是观测数据还是实验数据 .
某旅游公司为开发新的旅游产品，调查了5000名客户对于旅游目的地的偏好.
3．正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为 .
4．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 .
5．已知直线l与平面，“l与内无数条直线平行”是“”的 条件.
6．某校高一共有学生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有35人是男生，则该校高一男生共有 人.
7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 .
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92583556 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
8．下列说法正确的序号是 .
①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1；
②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；
③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；
④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5
9．已知直线l，m和平面，，且，，则下列命题中正确的是 .
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
10．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 .
11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段､､和在原正方体中相互异面的有 对
12．甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平.
二、单选题（本大题共4小题）
13．下列关于散点图的说法中，正确的是（ ）
A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系
C．从散点图中可以看出两个量的因果关系D．从散点图中无法看出数据的分布情况
14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与B．与C．与D．与
15．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
16．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共5小题）
17．如图，底面是正方形的直棱柱中，，.
(1)求直线与平面ABCD所成角的正切值；
(2)求证：.
18．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
(1)估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业占比；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
19．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.

(1)求此圆锥的侧面积；
(2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值.
20．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
21．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.

(1)若分别是棱的中点，求证：平面；
(2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值.
参考答案
1．【答案】/0.5
【详解】.
故答案为：.
2．【答案】观测数据
【详解】由题意可知是通过调查观测得到的数据，所以是观测数据.
故答案为：观测数据
3．【答案】
【详解】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为，
，，
故.
故答案为：.
4．【答案】/
【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，，
则.
故答案为：.
5．【答案】必要非充分
【详解】若l与内无数条直线平行，则或，
若，则l与内无数条直线平行，
所以“l与内无数条直线平行”是“”的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分
6．【答案】105
【详解】依题意，分层抽样的抽样比为：，所以该校男生的人数为：.
故答案为：105
7．【答案】14
【详解】由题意可知，符合题意的编号依次为01，17，09，08，06，14，
故选出来的第6支水笔的编号为14.
故答案为：14
8．【答案】①③④
【详解】对于①，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，
则某个个体被抽到的概率是，故①正确；
对于②，由这组数据1，2，m，6，7的平均数为4，可得，解得，
则数据为的方差为，故②错误；
对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23按从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30，
因，故第70百分位数是顺数第六个数，即23，故③正确；
对于④，样本的极差为，故④正确.
故答案为：①③④.
9．【答案】①④
【详解】由直线l，m和平面，，且，，知：
在①中，若，则由线面垂直的性质得，而，所以，故①正确；
在②中，若，显然由可得，，此时不成立，故②错误；
在③中，若，则l与m相交、平行或异面，故③错误；
在④中，若，则，，故④正确.
故答案为：①④
10．【答案】
【详解】
由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，
将三棱锥补成正方体，棱长为1，
故其该正方体的外接球的直径为，
即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为，
则球O的表面积为.
故答案为：.
11．【答案】3
【详解】如图，将各点在原图中标记出来，观察发现，在、、和四条线中，
相互异面的只有3对：和、和、和.
故答案为：3.
12．【答案】875
【详解】甲连胜两局后，
乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：，
即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，
故甲分得奖金元才公平.
故答案为：875.
13．【答案】B
【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；
散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；
散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.
故选：B
14．【答案】B
【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.
【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生，
∴，事件与事件互斥，故选项A不正确；
对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”，
∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确；
对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，
∴，事件与事件互斥，故选项C不正确；
对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，
∴，事件与事件互斥，故选项D不正确.
故选：B.
15．【答案】D
【详解】解：如图，取的中点，
的中点，的中点，连接，
由正方体的性质可知，
由中位线性质可知，
所以，，
所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形．
故选：D．
16．【答案】A
【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，
则，，，
，，，
所以，
故选：A．
17．【答案】(1)；
(2)证明见解析
【详解】（1）平面，
为直线与平面ABCD所成的角，
在中，，
直线与平面ABCD所成角的正切值为.
（2）证明：平面，平面，，
又四边形为正方形，则，
∵，平面，
平面，
平面，.
18．【答案】(1)；
(2)平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
【详解】（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于的企业为：，
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于的企业比例为.
（2）企业产值增长率的平均数
，
产值增长率的方差
，
产值增长率的标准差，
这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
19．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为圆锥的底面半径，
经过旋转轴SO的截面是等边，可得，
所以圆锥的侧面积为.
（2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意可得，则，，，，，
则，，
所以，，，
所以，
设异面直线PQ与SO所成角的大小为，，
则，
故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为.
20．【答案】(1)答案见解析
(2)事件A和事件B相互独立，理由见解析
【详解】（1）依题意试验的样本空间为：
（2）事件A和事件B相互独立，理由如下：
因为，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以事件A和事件B相互独立.
21．【答案】(1)证明见解析
(2)；
【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为分别是棱的中点，
所以‖，，
因为四边形是平行四边形，
所以，‖，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为四边形为正方形，所以，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，.
所以二面角的平面角为，
所以，所以.
因为，，，
所以两两垂直，
所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
则，，
所以
，
所以，
设，则，
因为，所以
所以
所以
所以当时，取到最小值.

y的分组
企业数
2
24
53
14
7