山西省2024−2025学年高二上学期1月期末数学试题

这是一份山西省2024−2025学年高二上学期1月期末数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若3，，27成等差数列，则（ ）
A．9B．15C．D．
2．过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（ ）
A．B．2C．D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的实轴长为8B．双曲线的虚轴长为3
C．双曲线的离心率为D．双曲线的渐近线的斜率为
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的极值与最值．
17．如图，平面平面，四边形是正方形，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点．
①求直线的斜率之积；
②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
19．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．
(1)求的值；
(2)证明：对；
(3)已知数列的前项和，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】若3，，27成等差数列，则，
解得.
故选：B.
2．【答案】D
【详解】直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，
即.
故选：D.
3．【答案】C
【详解】.
故选：C.
4．【答案】B
【详解】∵，，
∴两圆方程相减得，，化简得.
故选：B.
5．【答案】D
【详解】设，则，
∴，即，
∴.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，
由，显然，
则，即，
所以，
所以.
故选：C.
7．【答案】A
【详解】函数定义域为，，
因为函数在定义域内单调递增，所以,
所以在恒成立，所以
设，
所以单调递减；单调递增；
所以，
所以.
故选：A.
8．【答案】B
【详解】设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以，
设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得，
所以，化简可得，
所以点在以为圆心，为半径的圆上.
若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离，
又点到直线的距离，
所以，解得或，
当时，在安全区，不满足要求，
所以，即长度的最大值是2.
故选：B.
9．【答案】AD
【详解】由得双曲线中，
∴，
∴实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误；
离心率，故C选项错误；
渐近线方程，则斜率为，故故D选项正确.
故选：AD.
10．【答案】ABC
【详解】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选：ABC.
11．【答案】AC
【详解】对于A：由，
可得：，
所以：，
所以，正确，
对于B：
所以，
即是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以
则，不是等比数列，错误；
对于C：数列的第106项为213，
又，，，，，，，
所以，
所以的前项和为
，
C对，D错；
故选：AC
12．【答案】/0.25
【详解】∵，∴，
∴.
故答案为：.
13．【答案】9
【详解】由可得，其中为公差，
由可得，
因此，
根据等差数列的性质得：
当时，；当时，.
因此当时，取得最小值，
故答案为：.
14．【答案】或
【详解】
因为抛物线经过点，所以，所以，
圆的圆心为，半径为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入可得，
设、，则，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，即得
解得.
故答案为：或.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
由，得，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以
16．【答案】(1)
(2)极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为．
【详解】（1）由，得，．
所以．
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
（2）由（1），得，
令，解得，或．
当变化时，的变化情况如下表所示：
因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为．
又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面， 又平面，
所以．因为四边形是正方形，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）由（1）知平面，
又平面，所以，
又四边形是正方形，所以，
所以两两垂直．
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18．【答案】(1)
(2)①；②恒过点．
【详解】（1）由，得，解得，
设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得，
又，所以椭圆的标准方程为；
（2）①由题意，得，
设，由在椭圆上，得，即，
所以，
即直线的斜率之积为．
②设，
若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以，
又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即，
由不在轴上，得，与矛盾，
所以直线的斜率不为0．
设直线的方程为，
由，得，
所以，
且，
由①知，又，所以，
所以，即，
化简，得，
将代入上式并化简，得
即，解得或，
当时，与矛盾，舍去，
当时，满足
所以直线恒过点．
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得，
因为函数的极值点为0，所以，解得．
若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以0是函数的极值点．
综上所述，．
（2）令，则．
因为，在上单调递增，，
所以，使得．
当时，单调递减；
当时，单调递增．所以的极小值为，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即．
所以，即．
（3）证明：当时，，
当时，，满足上式，
所以．
由（2）知对，即，
取，则，所以，即．
所以．1
0
0
单调递减
单调递增
单调递减