贵州省遵义市2025届高三第二次适应性考试数学试题

这是一份贵州省遵义市2025届高三第二次适应性考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A．B．C．D．1
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线，则下列选项正确的是（ ）
A．的离心率为B．的渐近线方程为
C．的焦点坐标为和D．的焦点到渐近线的距离为
4．遵义羊肉粉是黔北民众最喜爱的小吃之一．2024年12月16日，遵义市第七届羊肉粉节在凤凰山文化广场盛大开幕，某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度，从用过餐的顾客中随机抽取100名进行评分．整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ）
A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间
B．这100名顾客评分的中位数小于80分
C．
D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间
5．在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．面D．面
6．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（ ）

A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．在上单调递减
C．是奇函数D．若，则
10．已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则与相互独立B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则D．若，则
11．如图1所示，在四边形中，，，．如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接．则下列选项正确的是（ ）
A．当面面时，点到面的距离为
B．异面直线与所成角的取值范围为
C．当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
13．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，圆心的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于A、两点．则 ．
14．在现代网络通信中，为了确保信息安全，常需要对重要信息进行加密处理，对密钥序列进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列，现定义一个简单的加密算法，让其在第轮对密钥序列片段进行一次变换，变换规则如下：在第轮变换中，若为奇数，则将让序列的奇数项的值增加2，偶数项的值减少；若为偶数，则将让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少1．若初始密钥序列，，则
（1）加密序列的所有项之和为 ；
（2）加密序列的所有项之和为 ．（结果用含的式子表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下：
(1)求，；
(2)根据小概率值的独立性检验，是否能认为“居家养老与性别有关”？
(3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为，求的分布列及数学期望．
附：参考公式：，其中．
独立性检验临界值表：
16．已知数列的前项和为，且满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
17．已知的内角A、、的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
18．设，，其中．
(1)若，，记，求在处的切线方程；
(2)若，，证明：；
(3)若，，且恒成立，求的最大值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)求折叠后面积的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意可得，
所以.
故选：A.
2．【答案】C
【详解】由指数函数可得，
所以.
故选：C.
3．【答案】B
【详解】由已知双曲线的焦点在轴上，且，，则，
所以，，.
所以的焦点坐标为、，故C项错误；
离心率，所以A项错误；
渐近线方程为与，所以B选项正确；
焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.
故选：B.
4．【答案】C
【详解】对于A，由频率分布直方图可知，这100名顾客评分的极差最小不低于，最大为，故A错误；
对于C，由面积和为可得，故C正确；
对于B，后两个矩形的面积为，所以这100名顾客评分的中位数应该在倒数第二个区间内，不小于80分，故B错误；
对于D，这100名顾客评分的平均值为，故D错误；
故选：C.
5．【答案】B
【详解】
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
对于A，，
则，
若，则，无解，故A错误；
对于B，，，
则，所以，即，故B正确；
对于C，，，，
则，所以与不垂直，因为平面，所以与平面不垂直，故C错误；
对于D，，，
设面的法向量为，
则，取，则，
所以，即与不垂直，所以与平面不平行，故D错误；
故选：B.
6．【答案】A
【详解】

由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设每个小正方形的边长为1，
，
所以，
因为，即，
所以，
所以.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】由，得，
则，整理得，
由，得，，
于是或，解得或，
而，所以，.
故选：D
8．【答案】A
【详解】由题意若，，即，
令，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，即，
所以，
令，则，
由，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即的最大值为.
故选：A
9．【答案】AC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，易得的定义域为，在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可得在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，故B错误；
对于C，的定义域为，，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，故D错误；
故选：AC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，，故与相互独立，即A正确；
对于B，若与相互独立，则与也相互独立，
则
，故B错误；
对于C，若与互斥，则，
，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，
所以，故D正确；
故选：ACD.
11．【答案】ABD
【详解】找中点，作，面，
因为，，所以，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，所以由勾股定理得，
又因，则，解得，
故，，，，
设，则，，
因,故，得，
则，，
由可得，化简得，
即点的轨迹方程是半径为的圆的一部分，
而该圆的参数方程为，，
故，则，
设平面的法向量为，则，解得，
且，令，解得，
得到，易得平面的法向量为，
对于A，当平面平面时，，此时，解得，
此时，而，，
设平面的法向量为，则，
，令，解得，，
故，而
设设点到面的距离为，则，故A正确；
对于B，由已知得，，
设异面直线与所成角为，且，
则，
而，结合余弦函数性质得，
故，由余弦函数性质解得，故B正确；
首先，我们来证明求解外接球半径的鳄鱼模型，
我们给定三棱锥，设分别是的外心，
设外接球球心为，是中点，连接,则，，
所以是二面角的平面角，设，
设，，连接,则面，面，
在四边形中，可得，
所以四点共圆，且设四边形的外接圆半径为，
所以，连接，由正弦定理得，设，
故，而在中，由余弦定理得，
连接，所以，则得，且
设，在直角三角形中，，
所以，即鳄鱼模型得证，
对于C，在本题中，我们设二面角的大小为，且，
，如图，的外心为，找中点作为外心，
则由中位线性质得，得到，
此时公式变为，
对于C，当二面角的大小为时，，
代入公式得，解得，
则三棱锥的外接球的体积为，故C错误；
对于D，若三棱锥的外接球的表面积的最小，
则其半径一定最小，由上分析可得，
而，结合正弦函数性质可得当时最小，
此时，由球的表面积公式得表面积为，
则三棱锥的外接球的表面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．【答案】40
【详解】利用通项公式，，令，得出的系数为
考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.
13．【答案】
【详解】设，直线的斜率不为零，设方程为，
由题意可得，化简可得，
联立，消去可得，，
，
所以.
故答案为：.
14．【答案】 52
【详解】（1）因为，
根据变换规则：在第轮变换中，若为奇数，则将让序列的奇数项的值增加2，偶数项的值减少；
若为偶数，则将让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少1.
所以，
所以，
所以的所有项之和为；
（2）设为奇数，则为偶数，，
记序列的所有项的和为，
则，，
所以的所有项之和为
.
故答案为：52；.
15．【答案】(1)
(2)不能
(3)分布列见解析；
【详解】（1）由题意可得.
（2）假设居家养老与性别没有关系，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，因此，不能认为居家养老与性别有关.
（3）的可能取值为0,1,2，
，
所以分布列为：
所以.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）数列的前项和，
当时，，
而，不满足上式，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，；
当时，
，而也满足上式，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以.
（2）由正弦定理可得，，
所以，
因为在均为单调递增，
所以在为单调递减，
所以当时，最大值为；所以当时，最小值为；
所以的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)10
【详解】（1）若，则，
则，
故直线的斜率为，又，直线过点，
因此在处的切线方程为.
（2）若，则．
则．
令，
因为，
所以，
所以在上单调递增，则，
即，所以在上单调递增，
故，得证．
（3）若，则．
因为，
所以
令，
则，
①当时，由，
则，
即，故在单调递增，
则，满足题意；
②当时，
即，，
则函数图象开口向上，且，，
由零点存在性定理可知，存在时，使，
则当时，，则，
即.
由，令，
解得，所以在上单调递减，
所以此时，不满足恒成立.
故由①②可知，的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知椭圆离心率，可得，即，
把代入，得到，所以.
当点为椭圆的上顶点时，的面积最大，其面积，
又因为，所以，解得.
由，可得，则.
所以椭圆的标准方程为.
（2）折叠前，，当时，直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为.
联立直线与椭圆方程，得到，解得，.
当时，；当时，.
所以，.
折叠后，建立空间直角坐标系，
得到，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，即，化简得，
令，可得，，所以.
易知平面的法向量为.
设平面与平面所成的锐角为，根据向量的夹角公式，
其中，，，所以.
（3）设折叠前，，，联立，
将代入，得到，
展开可得，，，
折叠后，如前问的图，建立空间直角坐标系得到，，，
，.
可得，，.
因为，所以.
根据三角形面积公式.
令，则.
对求导得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
因此，在处取得最大值，.
因为，所以.男性
女性
合计
居家养老
60
100
160
不居家养老
20
40
合计
80
200
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2