东元高级中学2025学年春学期高二3月份检测数学试卷

这是一份东元高级中学2025学年春学期高二3月份检测数学试卷，共6页。试卷主要包含了以下四个命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题）
1．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，，则
A． B． C． D．与相交但不垂直
2．已知直线的方向向量为，0，，直线的方向向量为，1，，若与的夹角为，则等于
A．1B．C．D．0
3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
4．已知，，，，4，，，5，，若，，不能构成空间的一个基底，则实数的值为
A．0B．C．9D．
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．
C．D．
6．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为
A．B．C．D．
7．如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，是棱的中点，是棱上的动点．设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是
A．先增大再减小B．减小C．增大D．先减小再增大
8．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是
A．B．C．D．
二．多选题（共5小题）
9．以下四个命题中正确的是
A．若非零空间向量满足，则有
B．若是空间的一个基底，则都不是零向量
C．纵坐标为0的空间向量都共面
D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，，，且以为方向向量的空间直线的方程为；
（2）过点，，，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，，则
A．B．C．D．
11．如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则动点的轨迹是一条线段
C．存在点，使得平面
D．若直线与平面所成角的正切值为2，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
三．填空题（共2小题）
12．已知向量，，若，则的值是_______.
13．在空间直角坐标系中，点坐标可记为，，：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点坐标可记为，，．如图所示，空间直角坐标，，与柱面坐标，，之间的变换公式为：，，．则在柱面坐标系中，点与点，，两点距离的最小值为 ．
如图，正四棱锥模型，过点作一个平面分别交、、于点、、，
若，则的值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
若，，，求：
；
．
16．在四棱柱中，底面是菱形，且，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成角的大小．
17．如图1，等腰直角△的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
（3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点．
（1）证明：平面；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高；
（3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围．
19．定义两个维向量，，，，，，，的数量积，，记为的第个分量且．如三维向量，1，，其中的第2分量．若由维向量组成的集合满足以下三个条件：①集合中含有个维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足为常数）且．则称为的完美维向量集．
（1）求2的完美3维向量集；
（2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
（3）若存在为的完美维向量集，求证：的所有元素的第分量和．