2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校九年级（下）开学数学试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校九年级（下）开学数学试卷，共23页。试卷主要包含了我国是最早认识和使用负数的国家，下列运算正确的是，关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．我国是最早认识和使用负数的国家．下列负数中，最大的是（ ）
A．﹣1B．C．﹣3D．﹣π
2．2023年歌曲《罗刹海市》席卷全球，据统计截止八月中旬，播放量突破惊人的358亿，数字35800000000用科学记数法表示为（ ）
A．358×108B．3.58×109C．3.58×1010D．35.8×109
3．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹B．冰裂纹
C．盘长纹D．风车纹
4．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）•a3＝﹣a6B．（a3）2＝a5
C．x9÷（﹣x）3＝﹣x3D．（﹣2a4）3＝﹣8a12
6．箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？（ ）
A．B．C．D．
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．在△ABC内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到AC的距离等于P到BC的距离．下列尺规作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
10．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则函数y＝mx2+nx﹣k+1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题
11．方程的解为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（3，﹣2），C（1，0）将线段AB平移得到线段CD，其中点C是点A的对应点，则点D的坐标为 ．
13．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB＝9：25，则 ．
14．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）两点，则关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝﹣bx+b的解是 ．
15．如图，E是菱形ABCD边BC上一点，∠ABC＝120°，把AE绕点E顺时针旋转120°得到FE、AF交CD于点G，BE＝1，EC＝2，则DG＝ ．
三．解答题
16．（1）计算：cs60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0．
（2）先化简再求值（x+1），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
17．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．
18．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图表．参加五个社团活动人数统计表：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，m＝ ；
（2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：cm）如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是 cm；
（3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？
19．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）若外墙的长为36m，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（3）设墙长为a米，若要确保能建面积为640m2的两种长宽不同的长方形鸡场，则a的最小值为 （直接写结果）．
20．如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高AB＝1m，主臂PB长为5m，PQ是伸展臂，BC∥AQ，AB⊥AQ，主臂伸展角∠PBC＝53°．
（1）求点P到AQ的距离；
（2）若此时PQ⊥PB，求伸展臂PQ的长．
（参考数据：，，
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点E在圆上，连接EB，EC，交AB于点F，过点C作CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠BEC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB⊥EC，BE＝6，，求的长．
22．【问题初探】
（1）如图1，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上（且不与点B，C重合），在△ABC的外部作△BED，使∠BED＝90°，BE＝DE，连接CD，过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CF．
根据以上操作，判断：四边形ACDF的形状是 ， ；
【变换探究】
（2）如图2，将图1中的△BED绕点B逆时针旋转，使点E落在AB边上，过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CE，CF，若CE＝4，求CF的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接EF，猜想△CEF为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得CF的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图1中的△BED绕点B顺时针旋转，使点D在BC的右侧，过点A作AF∥CD过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CF，并尝试连接CE，EF．
他们发现：若BE＝2，BC＝6，当四边形ACDF为菱形时．可求得CF的长度．请完成以下问题：
①求CF的长；
②当点D在BC左侧时，请直接写出CF的长．
23．【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”，例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y．
【概念理解】（1）①已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有 ；
②已知点M（3，4）在函数y（k≠0）关于直线x＝2的“1分移函数”图象上，求k的值；
【拓展探究】（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为3+2，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由；
【深度思考】（3）已知A（，0），B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．
2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．我国是最早认识和使用负数的国家．下列负数中，最大的是（ ）
A．﹣1B．C．﹣3D．﹣π
【解答】解：∵|﹣π|＞|﹣3|＞|﹣1|＞||，
∴，
即其中最大的是．
故选：B．
2．2023年歌曲《罗刹海市》席卷全球，据统计截止八月中旬，播放量突破惊人的358亿，数字35800000000用科学记数法表示为（ ）
A．358×108B．3.58×109C．3.58×1010D．35.8×109
【解答】解：35800000000＝3.58×1010，
故选：C．
3．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹B．冰裂纹
C．盘长纹D．风车纹
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
4．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的右端是一个小正方形．
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）•a3＝﹣a6B．（a3）2＝a5
C．x9÷（﹣x）3＝﹣x3D．（﹣2a4）3＝﹣8a12
【解答】解：A．（﹣a2）•a3＝﹣a5，故本选项不合题意；
B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
C．x9÷（﹣x）3＝﹣x6，故本选项不合题意；
D．（﹣2a4）3＝﹣8a12，故本选项符合题意．
故选：D．
6．箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵第31次抽球时箱内共有56个球，红球有6个，
∴这次她抽出红球的概率为．
故选：D．
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵每人出钱，会多出4钱，
∴yx﹣4；
∵每人出钱，会差3钱，
∴yx+3．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
8．在△ABC内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到AC的距离等于P到BC的距离．下列尺规作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，点P是线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的交点，
对于A选项，点P是∠ACB的平分线与边AB的交点，
故A选项错误；
对于B选项，点P是线段AC的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
故B选项错误；
对于C选项，点P是线段BC的垂直平分线上一点，
故C选项错误；
对于D选项，点P是线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的交点，
故D选项正确．
故选：D．
9．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（a+1）×（﹣1）＞0，且a+1≠0，
4+4（a+1）＞0，且a≠﹣1，
4（a+1）＞﹣4，
a+1＞﹣1，
a＞﹣2，
∴实数a的最小整数值0，
故选：B．
10．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则函数y＝mx2+nx﹣k+1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据图示可知，m＞0，k＜0，n＞0，
∴函数y＝mx2+nx﹣k+1的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交，
故选：A．
二．填空题
11．方程的解为 x＝5 ．
【解答】解：∵，
去分母得：2（x+1）＝3（x﹣1），
去括号得2x+2＝3x﹣3，
移项得2x﹣3x＝﹣3﹣2，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，（x﹣1）（x+1）≠0．
∴x＝5是原方程的根；
故答案为：x＝5．
12．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（3，﹣2），C（1，0）将线段AB平移得到线段CD，其中点C是点A的对应点，则点D的坐标为 （4，﹣4） ．
【解答】解：∵点A（0，2）的对应点C的坐标为（1，0），
∴平移规律为向右平移1个单位，向下平移2个单位，
∴B（3，﹣2）的对应点D的坐标为（3+1，﹣2﹣2），即（4，﹣4）．
故答案为：（4，﹣4）．
13．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB＝9：25，则 3：2 ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE：EC＝3：2，
故答案为：3：2．
14．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）两点，则关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝﹣bx+b的解是 x1＝1，x2＝5 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即，
∴b＝﹣4，
∵（x﹣1）2＝﹣bx+b，
∴（x﹣1）2＝4x﹣4，
∴（x﹣1）2﹣4（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，
∴x1＝1，x2＝5，
∴关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝﹣bx+b的解是x1＝1，x2＝5．
故答案为：x1＝1，x2＝5．
15．如图，E是菱形ABCD边BC上一点，∠ABC＝120°，把AE绕点E顺时针旋转120°得到FE、AF交CD于点G，BE＝1，EC＝2，则DG＝ ．
【解答】解：连接AC交BD于点O，连接CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BE＝1，EC＝2，
∴AB＝AD＝CD＝CB＝BE+EC＝3，CD∥AB，AD∥CB，AC⊥BD，
∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，
∴OB＝ODBD，
∵∠BOC＝90°，
∴OA＝OC，
∴AC＝OA+OC3，
由旋转得AE＝FE，∠AEF＝120°，
∴∠EAF＝∠EFA（180°﹣120°）＝30°，
∵，∠AEF＝∠ABC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∵∠CAF＝∠BAE＝30°﹣∠CAE，
∴△CAF∽△BAE，
∴，∠ACF＝∠ABE＝120°，
∴CFBE1，
作AH⊥CD交CD的延长线于点H，则∠H＝90°，∠ADH＝∠BCD＝60°，
∴cs60°，sin60°，
∴DHAD，HAAD，
∴CH＝CD+DH＝3，
∵∠GCF＝∠ACF+∠BCA﹣∠BCD＝120°+30°﹣60°＝90°，
∴∠H＝∠GCF，
∴HA∥CF，
∴△AGH∽△FGC，
∴，
∴HGCHCH，
∴DG＝HG﹣DH，
故答案为：．
三．解答题
16．（1）计算：cs60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0．
（2）先化简再求值（x+1），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【解答】解：（1）cs60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0
（2）+1
2+1
＝1；
（2）（x+1）
•


，
当x＝1或x＝2时，原分式无意义，
∴x＝3，
当x＝3时，原式5．
17．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．
【解答】解：（1）若m≥35，则35名学生的总费用为：35×150+300＝5550（元）＜5700元，
∴m＜35，
根据题意得：300+150m+180（35﹣m）＝5700，
解得：m＝30，
答：甲旅行社一次最多能接待30人；
（2）当0＜x≤30时，150x+300≤165x，
解得：x≥20，
∴20≤x≤30；
当x＞30时，300+150×30+180（x﹣30）≤165x，
解得：x≤40，
∴30＜x≤40；
综上所述，每批组织人数x的合理范围为20≤x≤40．
18．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图表．参加五个社团活动人数统计表：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，m＝ 40 ；
（2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：cm）如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是 182 cm；
（3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：（40+80）÷（1﹣15%﹣10%﹣15%）＝200（人），
m%＝80÷200×100%＝40%，
即m＝40，
故答案为：200，40；
（2）将190，172，180，184，168，188，174，184按照从小到大排列是：168，172，174，180，184，184，188，190，
∴这组数据的中位数是（180+184）÷2＝182（cm），
故答案为：182；
（3）2000×（1﹣15%﹣10%﹣15%﹣40%）
＝2000×20%
＝400（人），
答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人．
19．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）若外墙的长为36m，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（3）设墙长为a米，若要确保能建面积为640m2的两种长宽不同的长方形鸡场，则a的最小值为 40 （直接写结果）．
【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，
则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640．
化简，得x2﹣36x+320＝0．
解得x1＝16，x2＝20．
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40＞36，故不合题意舍去．
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．
答：当羊圈的长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；
（2）不能，理由如下：
由题意，得x（72﹣2x）＝650．
化简，得x2﹣36x+325＝0．
∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650m2；
（3）由（1）可知，
当AB＝16时，AD＝40；当AB＝20时，AD＝32，
故要确保能建面积为640m2的两种长宽不同的长方形鸡场时，a的最小值为40．
20．如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高AB＝1m，主臂PB长为5m，PQ是伸展臂，BC∥AQ，AB⊥AQ，主臂伸展角∠PBC＝53°．
（1）求点P到AQ的距离；
（2）若此时PQ⊥PB，求伸展臂PQ的长．
（参考数据：，，
【解答】解：（1）过点P作PD⊥AQ，垂足为D，延长BC交DP于点E，
由题意得：∠BEP＝90°，AB＝DE＝1m，
在Rt△BEP中，∠PBE＝53°，BP＝5m，
∴PE＝BP•sin53°≈54（m），
∴DP＝PE+DE＝4+1＝5（m），
∴点P到AQ的距离约为5m；
（2）∵∠BEP＝90°，
∴∠BPE+∠PBE＝90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠QPB＝90°，
∴∠QPD+∠BPE＝90°，
∴∠QPD＝∠PBE＝53°，
在Rt△PDQ中，PD＝5m，
∴PQ（m），
∴伸展臂PQ的长约为m．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点E在圆上，连接EB，EC，交AB于点F，过点C作CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠BEC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB⊥EC，BE＝6，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，
又∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB⊥EC，EC＝6，
∴CF＝EFEC＝3，
∴BC＝BE＝6，
在Rt△CBF中，sin∠CBF，
∴∠CBF＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OC＝BC＝6，
∴的长2π．
22．【问题初探】
（1）如图1，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上（且不与点B，C重合），在△ABC的外部作△BED，使∠BED＝90°，BE＝DE，连接CD，过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CF．
根据以上操作，判断：四边形ACDF的形状是 平行四边形 ， ；
【变换探究】
（2）如图2，将图1中的△BED绕点B逆时针旋转，使点E落在AB边上，过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CE，CF，若CE＝4，求CF的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接EF，猜想△CEF为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得CF的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图1中的△BED绕点B顺时针旋转，使点D在BC的右侧，过点A作AF∥CD过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CF，并尝试连接CE，EF．
他们发现：若BE＝2，BC＝6，当四边形ACDF为菱形时．可求得CF的长度．请完成以下问题：
①求CF的长；
②当点D在BC左侧时，请直接写出CF的长．
【解答】解：（1）∵AF∥CD，AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF，
∵AC＝BC，
∴BC＝EF，
又∵DE＝BE，
∴DF﹣DE＝BC﹣BE，即EF＝CE，
∵∠CEF＝∠BED＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：平行四边形，．
（2）如图，连接EF．
∵AF∥CD，AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DF，∠CDF＝90°，
∵AC＝BC，
∴BC＝DF，
∵DE＝BE，∠BED＝90°，
∴∠B＝∠EDB＝45°，
∴∠FDE＝45°，即∠B＝∠FDE，
∴△CBE≌△FDE（SAS），
∴CE＝EF，∠CEB＝∠FED，
∴∠CEB﹣∠CED＝∠FED﹣∠CED，
即∠CEF＝∠DEB＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CFCE＝4．
（3）①如图a，连接CE并延长交BD于点K，连接EF．
∵四边形ACDF是菱形，
∴AC＝CD＝DF，AC∥DF，
∵AC＝BC，
∴BC＝CD＝DF，
设DF交BC于点N，交BE于点M，EF交BC于点O．
∵∠ACB＝90°，
∴∠DNB＝90°，
∵∠BED＝90°，
∴∠BNM＝∠BED，∠BMN＝∠DME，
∴∠CBE＝∠FDE，
∴△CBE≌△FDE（SAS），
∴CF＝EF，∠BCE＝∠DFE，
又∵∠COE＝∠BOF，
∴∠CEF＝∠CNF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CFCE，
∵CD＝CB，ED＝EB，
∴CK是BD的中垂线，
∵BC＝6，BE＝2，
∴BK＝EK，
CK，
∴CE＝CK﹣EK，
∴CFCE＝22．
②22．
如图b，连接CE交BD于点K，延长FD交BC于点Q，连接EF．
∵AC∥DF，∠ACB＝90°，
∴∠FQB＝90°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠FQB+∠DEB＝180°，
∴∠QDE+∠QBE＝180°，
∴∠FDE＝∠QBE，
同理△FED≌△CEB（SAS），
∴∠FED＝∠CEB，
∴∠FEC＝∠DEB＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CFCE
由①知BK＝DK＝EK，CK，
∴CE＝CK+EK，
∴CFCE＝22．
23．【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”，例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y．
【概念理解】（1）①已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有 P1，P3 ；
②已知点M（3，4）在函数y（k≠0）关于直线x＝2的“1分移函数”图象上，求k的值；
【拓展探究】（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为3+2，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由；
【深度思考】（3）已知A（，0），B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）①函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”为y，代入点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4）分别验证，得到在图象上的点有P1，P3．
故答案为：P1，P3；
②x≥2时“1分移函数”的表达式为y1，把点M（3，4）代入得41，即k＝9；
（2）二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”为y，当x＝1时，y＝7﹣n；把x＝3代入y＝﹣x2+2x+6﹣n得y＝3﹣n，图象与x轴有三个公共点，必须满足，
∴3＜n＜7，
设函数图象与x轴的三个公共点的横坐标分别为x1、x2、x3且x1＜x2＜3≤x3，
∵y＝﹣x2+2x+6﹣n的对称轴直线为x＝1，
∴（x1，0）与（x2，0）关于直线为x＝1对称，
∴x1+x2＝2，
∵三个公共点的横坐标之和为3+2，
∴x3＝1+2，
把（1+2，0）代入y＝﹣x2+2x+6+n得n＝5；
（3）函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”为y，
∵y＝x2﹣bx+3＝（x）23，
∴顶点为（，3），
把x＝4代入y＝x2﹣bx+3＝19﹣4b，把A（，0）代入y＝x2﹣bx﹣3得b，
①当b时，32，且19﹣4b＝﹣3＜0，此时共三个交点，不满足题意；
②当b时，32，且19﹣4b＜﹣3＜0，此时共四个交点，满足题意；
③当0＜b时，b越大顶点的纵坐标3越小，
设直线CD的表达式为y＝kx﹣2，代入C（4，0）得k，
∴yx﹣2，
yx﹣2与y＝x2﹣bx+3联立得，
∴x﹣2＝x2﹣bx+3，
∴x2﹣（b）x+5＝0，
∴Δ＝（b）2﹣20＝0，
∴b＝2或b＝﹣2（舍），
图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，应满足：
，
∴2b，
综上，b的取值范围为b或2b．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/14 18:17:09；用户：郭主任；邮箱：15395505766；学号：22488626社团活动
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a
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c
题号
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答案
B
C
D
A
D
D
B
D
B
A
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