2024-2025学年四川省资阳市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省资阳市某校高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A. 623B. 328C. 072D. 457
2.某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：
则( )
A. 运动时长的第30百分位数是30B. 运动时长的平均数为60
C. 运动时长的极差为120D. 运动时长的众数为60
3.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是( )
A. 16B. 14C. 12D. 23
4.在三棱锥P−ABC中，G为△ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB，PF=12PC，λ，μ∈(0,1)，若PG交平面DEF于点M，且PM=12PG，则λ+μ的最小值为( )
A. 12
B. 23
C. 1
D. 43
5.给出下列说法，其中不正确的是( )
A. 若 a//b，则 a，b 与 空 间中其它 任何向量 c 都不能构成空间的一个基底向量
B. 若OA=OB+2OC−OD，则A，B，C，D四点共面
C. 若 2PM=PA+PB，则点M是线段AB的中点
D. 若平面α，β的法向量分别为n1=(2,1,−1),n2=(−1,t,1)，且α⊥β，则t=3
6.已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|=2|PF2|=5|F1Q|，则C的离心率是( )
A. 35B. 34C. 54D. 53
7.已知直线l： 3x+y−4=0，圆Γ：x2+y2=r2(r>0)，若直线l上存在两点A，B，圆Γ上存在点C，使得|AB|=2，且∠ACB=90°，则r的取值范围是( )
A. [1,3]B. [2,3]C. [1,+∞)D. [2,+∞)
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P在C上且位于第一象限，圆O1与线段F1P的延长线，线段PF2以及x轴均相切，△PF1F2的内切圆为圆O2.若圆O1与圆O2外切，且圆O1与圆O2的面积之比为4，则C的离心率为( )
A. 12B. 35C. 22D. 32
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向
下的数字为1或2”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A. 事件M与事件N互斥B. 事件M发生的概率为12
C. 事件M与事件N相互独立D. 事件M+N发生的概率为1
10.已知关于x的二次函数f(x)=ax2−bx+1，设集合P={1,2,3}，Q={−1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b)，则( )
A. 所有的数对(a,b)共有30种情况
B. 函数y=f(x)有零点的概率为25
C. 使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的数对(a,b)共有13种情况
D. 函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为1330
11.双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为x24−y221=1，则( )
A. 双曲线的焦点F2到渐近线的距离为 21
B. 若m⊥n，则|PF1||PF2|=42
C. 当n过点Q(3,6)时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8
D. 反射光线n所在直线的斜率为k，则|k|∈[0, 212)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______．
13.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______．
14.已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)具有相同的左、右焦点F1、F2，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，满足e1⋅e2=1，且直线PF1与y轴的交点的坐标为(0,3a22)，则∠F1QF2的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共148分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(m,1)在抛物线C：y2=2px上，且A到C的焦点的距离为1．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，y1y2b>0)过点(−1, 22)和( 22, 32)．
(1)求C的方程；
(2)设直线l：x=−2，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，求tan∠MAN的最小值．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.BC
10.BC
11.ABD

13.840
14.π3
15.解：(1)依题意可得2pm=1m+p2=1，
解得m=0.5p=1，
所以抛物线方程为：C：y2=2x；
(2)设直线l：x=ty+n，t显然存在，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立方程y2=2xx=ty+n，
化简可得y2−2ty−2n=0，
所以Δ=4t2+4n>0，y1+y2=2t，y1y2=−2n，
P、Q在抛物线C上，
故y12=2x1y22=2x2，
则OP⋅OQ=x1x2+y1y2=14(y1y2)2+y1y2=3⇒n2−2n−3=0，
解得n=−1或n=3，
因为y1y20，
所以yA+yB=−2t2+t2，yAyB=−12+t2，
则xA+xB=t(yA+yB)+2=42+t2，故N(22+t2,−t2+t2)，
故直线MN：y+t2+t2=−t(x−22+t2)，
令x=−2，则y=5t+2t32+t2，
所以M(−2,5t+2t32+t2)，
而|AB|= 1+t2⋅ (yA+yB)2−4yAyB=2 2(1+t2)2+t2，
M到直线AB距离d=2(t4+4t2+3)(2+t2) 1+t2，
又tan∠MAN=2d|AB|，
所以tan∠MAN= 2(t4+4t2+3)(1+t2) 1+t2= 2(t2+3) 1+t2，
令m= 1+t2≥1，
则tan∠MAN= 2(m2+2)m= 2(m+2m)≥2 2⋅ m⋅2m=4，
当且仅当m= 2时取等号，故tan∠MAN最小值为4． 星期
一
三
三
四
五
六
日
时长(分钟)
60
150
30
60
10
90
120