2024-2025学年陕西省渭南市蒲城中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省渭南市蒲城中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点P(1, 3)、Q(4,0)两点的直线l的倾斜角α为( )
A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°
2.经过两条直线2x+y−8=0和x−2y+1=0的交点，且垂直于直线3x−2y+4=0的直线的方程是( )
A. 2x+3y−13=0B. 2x+3y−12=0
C. 2x−3y=0D. 2x−3y−5=0
3.已知△PQF的顶点P，Q在椭圆x216+y212=1上，顶点F是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在PQ边上，则△PQF的周长是( )
A. 12B. 4 3C. 16D. 10
4.如图，在四面体A−BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设AB=a，AC=b，AD=c，则BP=( )
A. 56a−16b−16c
B. −56a+16b+16c
C. 23a−13b−13c
D. −23a+13b+13c
5.若(ax+1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若直线l：x−y−m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则下列说法中错误的是( )
A. 抛物线的焦点为(2,0)B. m=2
C. 抛物线的准线为x=−4D. |AB|=16
7.若An3=12Cnn−2，则n=( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
8.四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是( )
A. 64B. 81C. 24D. 12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：ax+y−2=0，l2：(3a+2)x−ay+1=0，若l1//l2，则a=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
10.以直线x−2y−1=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. x2=−yB. x2=−2yC. y2=2xD. y2=4x
11.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到2×2列联表．
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A. 列联表中c的值为20，b的值为45
B. 列联表中c的值为30，b的值为35
C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关联”
D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关联”
12.下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)的说法正确的有( )
A. 线段OP的中点的坐标为(12,1,32)
B. 点P关于x轴对称的点的坐标为(−1,−2,−3)
C. 点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,−3)
D. 点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2,−3)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.6名同学照相排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法共有______种.(用数字表示)
14.(2x− x)4展开式中各项系数之和______．
15.经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上的圆方程为______．
16.下列结论正确的是______．
①变量间的线性相关系数r的取值范围为[−1,1]；
②变量间的线性相关系数r的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱；
③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知双曲线方程9x2−16y2=144，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率．
18.(本小题12分)
已知点A(−2,0,2)、B(−1,1,2)、C(−3,0,4)，a=AB，b=AC．
(1)若|c|=3，且c//BC，求c；
(2)求csa,b;
(3)若ka+b与ka−2b垂直，求k．
19.(本小题12分)
某产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下数据：
(1)画出散点图．
(2)求y关于x的回归直线方程．
(3)预测广告费为9百万元时的销售额是多少？
20.(本小题12分)
已知圆C：(x−2)2+(y−3)2=4外有一点P(4,−1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别为PD，PB的中点，
(1)证明：直线EF⊥平面PAC．
(2)求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值．
(3)点A到平面EFC的距离．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.B
9.AB
10.BD
11.AC
12.AD
13.480
14.1
15.(x−7)2+(y+3)2=65
16.①②
17.解：双曲线方程9x2−16y2=144的标准方程为：x216−y29=1，实轴在x轴，
∴a=4,b=3,c= 42+32=5，
∴顶点坐标为(4,0)，(−4,0)，焦点坐标为(5,0)，(−5,0)，
焦距为2c=10，实轴长为2a=8，虚轴长为2b=6，
令x216−y29=0，可得y=±34x，即渐近线方程为y=±34x，
离心率为e=ca=54．
18.解：(1)∵B(−1,1,2)、C(−3,0,4)，
∴BC=(−2,−1,2)，
∵|c|=3，且c//BC，
∴设c=(−2λ,−λ,2λ)，且(−2λ)2+(−λ)2+(2λ)2=9，
解得λ=±1，
∴c=(−2,−1,2)或c=(2,1,−2)；
(2)∵A(−2,0,2)、B(−1,1,2)、C(−3,0,4)，a=AB，b=AC，
∴a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，
∴cs⟨a→,b→⟩=a→·b→|a→|·|b→|=−1 2× 5=− 1010；
(3)∵ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=(k+2,k,−4)，
又ka+b与ka−2b垂直，
∴(ka+b)⋅(ka−2b)=(k−1)(k+2)+k2−8=0，
解得k=−52或k=2．
19.解：(1)根据表中所给的五组数据，得到对应的五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出五个点
(2)由散点图知，y与x线性相关，设回归方程为：y=bx+a，
x=5,y=50,i=15xi2=145，
i=15xiyi=1380，
b=1380−5×5×50145−5×25=6.5，a=50−6.5×5=17.5，
故y=6.5x+17.5．
(3)当x=9时，y=6.5×9+17.5=76(百万元)
即广告费为9百万元时的销售额预报值是76百万元．
20.解：(1)由题知，圆心坐标为(2,3)，半径为r=2，
当斜率不存在时，直线l的方程为x=4；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx−y−4k−1=0，
则|2k−3−4k−1| 1+k2=2，解得k=−34，
∴直线l的方程为3x+4y−8=0，
综上，直线l的方程为x=4或3x+4y−8=0；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x+y−3=0，
圆心到直线l的距离d=|2+3−3| 2= 2，
∴所求弦长为2 r2−d2=2 4−2=2 2．
21.解：(1)如图所示，连接BD，因为E，F分别是PD，PB的中点，

所以EF//BD，
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又因为AC⊥BD，AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又EF//BD，所以EF⊥平面PAC；
(2)由题意容易知道AB，AD，AP两两互相垂直，
故以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意PA=AB=2，所以C(2,2,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，F(1,0,1)，A(0,0,0)，
显然平面ABCD的法向量可以是AP=(0,0,2)，
而CF=(−1,−2,1)，
故所求为|cs|=|AP⋅CF||AP|⋅|CF|=22 6= 66，
即直线CF与平面ABCD所成角的正弦值 66；
(3)由(2)可知A(0,0,0)，E(0,1,1)，F(1,0,1)，C(2,2,0)，
从而CF=(−1,−2,1),CE=(−2,−1,1),AC=(2,2,0)，
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥CFn⊥CE，则n⋅CF=−x−2y+z=0n⋅CE=−2x−y+z=0，令z=1，解得x=y=13，
所以可取n=(13,13,1)，
故所求为|AC⋅n||n|=23+23 19+19+1=4 1111，
即点A到平面EFC的距离4 1111． 优秀
非优秀
合计
甲班
10
b
乙班
c
30
合计
105
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70