江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题（解析版）

这是一份江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若向量，，且，则（ ）
A. B. 45C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，
故，
故.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
，
所以结合复数模的性质得，故A正确.
故选：A.
3. 满足的集合的个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】因为，所以，
则必须包含和，也必须包含的子集才不影响结果，
又的子集共有8个，把每个子集与集合取并集都符合条件，
则符合条件的集合共有8个，故B正确.
故选：B.
4. 声音经济产业指的是围绕声音进行信息消费而引发的一切经济现象及行为.已知年中国声音经济产业市场规模（单位：千亿元）依次为：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的分位数为（ ）
A. 3.1B. 3.2C. 3.5D. 3.9
【答案】C
【解析】因为，所以该组数据的分位数为这组数据按照从小到大排列的第6个数（3.1）与第7个数（3.9）的平均数，
所以这组数据的分位数为.
故选：C.
5. 化简（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D正确.
故选：D.
6. 若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，由，得；由，得；由，得.
因为，所以是关于的减函数.
又，所以，所以.
故选：A.
7. 已知点，直线：与抛物线：交于，两点，且，则直线的斜率之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知直线过的焦点，将与联立，
得，所以，，，
由抛物线定义可得.
又，解得，直线的斜率为，
直线DA与DB的斜率之和为，
所以直线的斜率之和为.
故选：B.
8. 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点在该棱锥的高上，分别以，为球心作球，使得点，，，都在球的表面上，两球面的公共点的集合是以线段上一点为圆心，半径为的圆，则当球的半径为时，球的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得圆的半径为，设球，的半径分别为，，
设，则，，
，
由题意，得，解得，，，
所以球的表面积为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线：与：，则与的（ ）
A. 离心率相等B. 渐近线相同C. 焦点坐标相同D. 焦距相等
【答案】AB
【解析】由双曲线：，可得，所以的离心率是，
由双曲线：，可得，所以的离心率是，
所以与的离心率都是，故A正确；
的渐近线方程为，的渐近线方程是，故B正确；
与的焦点坐标分别为，，故C错误；
与焦距分别为，，故D错误.
故选：AB.
10. 已知数列满足对任意正整数，恒有且，设，则（ ）
A. 中前个奇数的和为B. 前100项的和为10100
C. 不存在等差数列，使其前项和为D.
【答案】BCD
【解析】因为对任意正整数，，恒成立，
令，，得，所以，，
所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，
故，经检验符合题意.
中前个奇数的和为，故A错误；
所以，所以，
所以的前100项的和为
，故B正确；
假设存在，其前项和，则，
当时，，所以，，
所以不是等差数列，故C正确；
，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是
C. D.
【答案】AC
【解析】由题意知在上单调递增，又在上的值域为，
所以，所以，是方程的两个根，
设，则，是方程的两个根，
因为，所以，所以方程有2个不相等的正根，，
所以，解得，故A正确，B错误.
由基本不等式，可得，
所以，故C正确；
，
因为，所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则______.
【答案】0.2
【解析】因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知正四棱柱的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点经过棱或棱上的一点到达点的最短距离为，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】设该棱柱的高为，如图，若沿该棱柱表面从点经过棱上一点到达点的最短距离为，不满足题意；
从点经过棱上的一点到达点的最短距离为，解得.
因为，所以，所以，
过点作的平行线与交于点，
则或其补角就是AE与BD所成角，，，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】法1：设为的图象上任意一点，
绕原点逆时针旋转后点的对应点为，
设，与正半轴夹角为，
可得：，
化简可得：令，则，
所以，令，
要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象，
则为单调函数，即恒成立，或恒成立.
因为，又，故不恒成立，所以恒成立，
当时，；当时，由，得，
令，则，
易得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
当时，由，得，令，则，
所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为，
所以.综上所述，的取值范围为.
法2：，当时，由，得，
由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象；
当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后，
得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立，
所以在上恒成立，令，则，
因为，所以当时，，
当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以，所以，
所以.综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立.
（1）求的值及品种小麦千粒重的中位数；
（2）用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率.
解：（1）由品种小麦的频率分布直方图，得，所以；
设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图，
得，，则，
于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g.
（2）设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g，
事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则，
用频率估计概率，则，，
由，相互独立，所以
.
16. 如图，在中，的平分线与AB交于点，.
（1）求；
（2）若，求的值.
解：（1）如图，在中，由题意得，
设，则，，
则由余弦定理得，
因为是的平分线，所以，，
由二倍角公式得.
（2）由（1）知，易得，
所以，
由余弦定理得，
结合诱导公式得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，，
由余弦定理得，
因为，所以，由正弦定理得.
17. 如图1，在面积为的等腰梯形ABCD中，，点为CD的中点，，，把与分别沿BE，AE折起，使点，重合于点，如图2.
（1）求证：；
（2）求直线PE与平面PAB所成角的正弦值.
（1）证明：在面积为的等腰梯形ABCD中，因为，，
设梯形ABCD的高为，则，所以，
则，
所以是正三角形，.
在三棱锥中，，，
取AB的中点，连接PF，EF，则，，
因为，PF，平面PEF，所以平面PEF，
因为平面PEF，所以.
法二：在面积为的等腰梯形ABCD中，因为，，
设梯形ABCD的高为，则，所以，
则，
所以是正三角形，.
延长EA到，使得，延长EB到，使得，
连接PM，PN，MN，则四面体EPMN是棱长为2的正四面体.
作平面PMN，垂足为，以点为原点，在平面PMN内过点与PM垂直的直线为轴，
过点与PM平行的直线为轴，直线OE为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，分别为EM，EN的中点，所以，.
，，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，平面，
因为平面，所以平面平面，
所以点在平面上的射影在PF上，
所以是直线与平面所成的角.
由（1）知是边长为1的正三角形，，，
在中，，
，
在中，，
所以.
所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为.
法二：由（1）知，，，
设平面PAB的一个法向量，则即
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程；
（3）过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
解：（1）由椭圆经过点，且离心率为，
得到，解得，，故的方程为.
（2）设，，由题意得，
因为线段PQ的中点为，所以，，
因为，，两式相减得，
所以，即，解得，
即直线的斜率为，故的方程为，即.
（3）如图，设，当时，
可设切线的方程为，，
将与联立，得，
则，即，
且，，
所以，，代入，得，
将的坐标代入，得.
当时，，；当时，，，
而满足.
设，同理可得，
则点，都在直线上，
故直线的方程为，即，
由得，故直线恒过定点.
19. 已知函数是区间上的可导函数，数列满足，若点与所在直线的斜率存在，且与的图象在处的切线斜率相等，则称为的“—和谐数列”.
（1）若，，是的“1—和谐数列＂，且，求；
（2）若，.
①判断在上的单调性；
②若是的“—和谐数列”，且，求证：.
解：（1）由题意，得与所在直线的斜率为，
，的图像在处的切线斜率为，
所以，，
所以，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，.
（2）①因为，，所以，
设，则，
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
所以，所以，即在上单调递增，且，
所以在上单调递增.
②证明：因为是的“—和谐数列”，所以，
设，则，
，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
设，，则，
所以，
令，则
由①知，且在上单调递增，
，所以，所以单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
取，得.
又，，在上单调递增，
所以，即，
所以.