【2025年上海高三数学】2025届上海四校3月份联考数学卷与答案（控江+曹二+南模+大同）

这是一份【2025年上海高三数学】2025届上海四校3月份联考数学卷与答案（控江+曹二+南模+大同），共18页。试卷主要包含了填空趣，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
120分钟 满分150分
一、填空趣（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合，则_______．
2. 若复数z满足，则复平面内复数所对应点Z位于第_______象限．
3. 已知函数，则_______．
4. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______．
5. 已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______．
6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_______．
7. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______.
8. 己知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为_______．
9. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是_______．
10. 在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______．
11. 对一列整数，约定：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后的结果为p．若将从1到2030的2030个整数随机地输入，则p的最小值和最大值之和为_______．
12. 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_______．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ）
A. B. C. D.
14. 如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（ ）个不同的正值．
A. B. C. D.
15. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（ ）

A. ①、②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①、②都是假命题
16. 设，为等差数列，令，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中．
（1）写出关于的函数关系式；
（2）如何设计，使得有最大值？
19. 若数列满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量．
（1）若，求随机变量X的分布列与数学期望；
（2）求，其中且．
20. 如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，证明：；
（3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标
21. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
参考答案
1.
【详解】集合，
所以．
2. 四
【详解】因为，所以在复平面内与复数对应的点Z为，
故复数对应的点Z位于第四象限．
3.
【详解】因为，所以．
4.
【详解】由题意得函数的最小正周期
，解得．
5.
【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a，
则，解得，即，又，
所以
.
故答案为：

6.
【详解】直线与直线平行，
则，解得，
故直线，直线，
这两条直线间的距离为：．
7.8
【详解】因为，且，则由对称性得，
又，
所以，故，
又因为，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为8.
8.－4
【详解】因为是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，
所以，
所以，即，
因为的值域为，所以的值域也为，
所以的值域为，所以的值域也为，
所以的最小值为．
9.
【详解】记，则为直线AP的斜率，
故当直线AP与半圆相切时，k最小，
此时设，故，解得或，
由图可知需舍去，
故．
当过时，．
10.
【详解】取正方体轴线与交点为，
连接并延长，交延长线与，
连接，交于，
连接，
作出图形如图，
由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形，
则，所以，同理，，
正方体的棱长为，，
，
，
四边形的周长为.
11.2030
【详解】对于连续四个奇数：，由题意运算，其结果最小值0；
同理可得，对于连续四个偶数：，其结果最小值为0.
在1到2030的2030个整数中有1015个奇数和1015个偶数，，
由奇数，经过计算最小值为1，且由偶数，经过计算最小值为0，则的最小值为1.
除2030之外，前2029个数中有1015个奇数和1014个偶数，，，
由奇数，经过计算最小值为1，且由偶数2,4，经过计算最小值为2，
则前2029个数经过计算最小值为，故的最大值为.
则p的最小值和最大值之和为2030.
故答案为：2030.
12.
【详解】如图，设，因，故，又，
由余弦定理，，即，
设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于E，与椭圆交于P，Q，
连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴，建立直角坐标系．
则，又由得，
从而，则得，
不妨设椭圆方程为，把和点P坐标代入方程，解得，
则，故．
13.C
【详解】依题意，，
对于A，，，不能被5整除，A不是；
对于B，，，不能被5整除，B不是；
对于C，，，能被5整除，C是；
对于D，，，不能被5整除，D不.
14.D
【详解】
当时，如图，作，
当时，垂足为，
由正六边形的性质可得：在直线上的投影为，在直线上的投影为，
由数量积的几何意义可得，
，，
，，
所以共有个不同的正值.
15.A
【详解】由题意可知图1水的高度，几何体正四棱柱的高为，设底面正方形的边长为，
图1中水的体积为，图2中水的体积为，
所以，解得，故①正确，
对于②，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，
又因为容器容积为，所以水的体积是容器容积的一半，
即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故②正确，
16.C
【详解】已知，，
则，故在上单调递增.
又由，得，
故，即，
则函数的图象关于点中心对称.
已知数列是等差数列，则.
①先证明充分性：
若，由数列是等差数列，
可得，
则，
所以由函数的对称性可知，
，，，，
，即“”得证.
因此，“”是“”的充分条件；
②再证明必要性：
下面用反证法证明：
假设，
已知数列是等差数列，则，
即，由等差数列性质可得
，
所以，，，，，
由函数在上单调递增，
可得，
同理可得，
，
，
各式累加得，，
所以，即，
这与已知矛盾，故假设错误；
同理，假设，可证得，也与已知矛盾，故假设也错误；
所以“”得证.
即“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充要条件.
17.（1）证明见解析
（2）．
【小问1详解】
，
，且，
又
面PBD 又是平行四边形 面PBD
【小问2详解】
设与BD交点为O，
则为中点，，
面面，
面
法一：建系：如图建系，
，
，
设平面的法向量为，
则，
设平面的法向量为，
则，
设二面角的平面角为
二面角的余弦值为．
法二：即求直接找角：作面PBD，
面，作，连即为所求角
二面角的余弦值为．
法三：等积法：角度转化+等体积公式
设二面角的平面角为
二面角的余弦值为．
18.（1）
（2）
【小问1详解】
由已知可得，
在△中由正弦定理可得：
，所以，
从而，
所以，.
【小问2详解】
，
由
令增区间是；
令减区间是；
所以在处取得最大值是．
答：设计成时，该设施的平面图面积最大是．
19.（1）分布列见解析，
（2）
【小问1详解】
若，则中的数列有0，0，0；1，0，0；0，1，0；0，0，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1；
从集合中任意取出两个不同数列，，，
∴X的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有种情况，
其中当时，若选择0，0，0，可从1，0，0；0，1，0；0，0，1任选1个，共有3种情况，
若选择1，1，1，可以从1，1，0；1，0，1；0，1，1任选1个，共有3种情况，
另外1，0，0和1，0，1；1，1，0两者之一满足要求，0，1，0和1，1，0；0，1，1两者之一满足要求，0，0，1和1，0，1；0，1，1两者之一满足要求，共有种情况，故，
当时，0，0，0，和1，1，1满足要求，1，0，0和0，1，1满足要求，0，1，0和1，0，1满足要求，0，0，1和1，1，0满足要求，共有4种情况，，
，
随机变量X的分布列：
则随机变量X的数学期望为；
【小问2详解】
证明：数列是从集合中任意取出的两个数列，
∴数列为k项数列，
∴X的可能取值为：1，2，3，…，k，
根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个，
当时，则数列中有m项取值不同，有项取值相同，
从k项中选择m项，和在m项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字不同，
，这个问题是组合问题，
∴所有的情况会重复1次，∴一共有种情况，
，
∴随机变量X的分布列为：
20.（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析，
【小问1详解】
当时，，
联立消去，
可得，
设，
拋物线C方程为：.
【小问2详解】
由题知，设，
，代入抛物线可得，
，
又，
同理.
【小问3详解】
因为，
所以，代入点得①，
设，同理，
过点②
，
结合①②可得
又因为
所以，整理得
所以直线过定点.
21.（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
函数不“旋转函数”，理由如下．
的图象逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”，
【小问2详解】
由题意可得函数与函数最多有1个交点，其中，
所以关于的方程最多有一个根，
即关于的方程最多有一个根，
即函数在上单调．
易知，且．
若，
则，不满足题意，
所以，
所以，
即，
即的最大值为．
【小问3详解】
由题意可知，与最多有一个交点，
故，最多一个解，即与至多一个交点，
所以恒大于等于0或恒小于等于0，
当时，，所以
令，
故，
当时，在单调递减；在单调递增；
当，且时，，，矛盾；
当时，，满足条件；
当，在单调递增；在单调递减；
所以，故，
综上所述；
X
1
2
3
P
X
1
2
3
……
k
P
……