【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市金山区九年级数学一模试卷与答案

这是一份【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市金山区九年级数学一模试卷与答案，共11页。试卷主要包含了； 14．；等内容，欢迎下载使用。
（考试时间100分钟，满分150分） 2025.1
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列函数中，一定是二次函数的是（▲）
（A）（其中是常数）； （B）（其中、、是常数）；
（C）； （D）．
．已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（▲）
（A）抛物线有最低点，最低点的坐标是；
（B）抛物线有最高点，最高点的坐标是；
（C）抛物线有最高点，最高点的坐标是；
（D）抛物线有最低点，最低点的坐标是．
4．下列说法中，正确的是（▲）
（A）两个等腰三角形一定相似； （B）两个直角三角形一定相似；
（C）含角的两个等腰三角形一定相似； （D）含角的两个等腰三角形一定相似．
5．在△中，点，分别是边，的中点．下列结论中，错误的是（▲）
（A）△∽△；（B）；
（C）；（D）∥．
6．已知二次函数的图像是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在轴右侧．当抛物线与轴两交点的距离为时，若、、、这四个函数值中有且只有一个值不大于，那么在这四个函数值中，值不大于是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知、是不等于的实数，，那么 ▲ ．
8．已知，那么＝ ▲ ．
9．将二次函数化成的形式为 ▲ ．
10．第七届中国国际进口博览会(简称“进博会”)于年月日至日在国家会展中心(上海)隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心(上海)的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心(上海)的实际距离为 ▲ 千米．
图


图
图
11．在△中，点，分别在边，上．添加一个条件使△∽△（顶点分别与顶点对应），这个条件可以是 ▲ ．（写出一种情况即可）
12．(洞孔成像) 如图，∥，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为，那么物长为 ▲ ．
13．已知两个相似三角形的一组对应边长分别是厘米和厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 ▲ 厘米．
14．在△中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量表示为 ▲ ．
15．如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ▲ ．（结果保留根号的形式）
16．某校初三数学活动小组在利用尺规把线段分割成两条线段．
（1）过点作，使．（2）联结，在线段上截取．
（3）在线段上截取．那么 ▲ ．
17．在矩形中，，，点在边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边上的点处，那么的长为 ▲ ．
18．在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为A、B．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为C、D．当线段BC是线段AB、BD的比例中项时，的值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题共10分）
计算：．
20．（本题共10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在抛物线上， 求的正弦值．
21．（本题共10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
图
如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在边上，且．
（1）求的长；
（2）求的值．

22．（本题共10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，△和△都是直角三角形纸片，且△与
△不相似．其中，，，（）．
是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△或△分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似．
如果存在；（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性；
图
（2）按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）．

23．（本题共12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
图
已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）联结，若，，
求证：四边形是菱形．
24．（本题共12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）．
（1）若将的图像向上平移个单位，得到的新抛物线经过点，求新抛物线的表达式；
（2）若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围；
（3）在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为
1
y
1
x
O
图
点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标．


25．（本题共14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知三角形的顶点在三角形的内部，点、点在直线同侧．
（1）如图，联结，若△和△是等边三角形时，点三点共线，，求的比值；
（2）如图，联结（点三点不共线），
，若，，求的值（用含的代数式表示）；
（3）若△是等腰三角形，，，，点在高上，点在的延长线上，联结并延长交边于点，联结，，当，△与△相似时，求的长．
图
图
备用图
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1． C； 2． A； 3． C； 4． D ； 5．B； 6． D ．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8．； 9．； 10．；
11．（答案不唯一）； 12．； 13.； 14．；
15．； 16．； 17． ； 18．．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题共10分）
解：原式……………………………………（1+1+1+1+1+1分）
…………………………………………………………（1+1+1分）
………………………………………………………………………（1分）
20．（本题共10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）抛物线经过点和
………………………………………………………………（1+1分）
解得：……………………………………………………………………（1+1分）
抛物线的表达式为………………………………………………（1分）
（2）点在在抛物线上
……………………………………………………（1分）
…………………………………………………………………………（1分）
、、
………………………………………………………（1分）

△为直角三角形………………………………………………………………（1分）
在直角三角形中，………………………………………（1分）
21．（本题共10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
（1）在矩形中
， …………………………………………（1+1分）
在中，，
…………………………………………………………………………（1分）
……………………………………………………………………………（1分）
……………………………………………………………………（1分）
（2）过点作垂足为………………………………………………………（1分）
在矩形中
，
…………………………………………………………………………（1分）
………………………………………………………………………………（1分）
在中，，
………………………………………………………………………（1分）
在中，，
………………………………………………………………（1分）
22．（本题共10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
（1）分割方案：（答案不唯一）如图：
过点的直线交边于点，使得.……………………………………（2分）
证明：，，，，


即
…………………………………………………………（1分）
，
△∽△………………………………………………………………（2分）
（2）△∽△
………………………………………………………………………（1分）
，，
…………………………………………………………………………（2分）
……………………………………………（2分）
（其余答案为：或或）
23．（本题共12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
（1）平行四边形
，…………………………………………………………（1+1分）
，………………………………………………………（1+1分）
…………………………………………………………………………（1分）
……………………………………………………………………（1分）
（2）
又
△∽△
…………………………………………………………………（1分）
，
，
…………………………………………………………………（1分）
平行四边形

…………………………………………………………………（1分）
又
△∽△…………………………………………………………………（1分）
即
……………………………………………………………………………（1分）
平行四边形
四边形是菱形．……………………………………………………………（1分）
24．（本题共12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
（1）将抛物线向上平移2个单位
新抛物线的表达式……………………………（1分）
新抛物线经过点
………………………………………………………（1分）
…………………………………………………………………………（1分）
新抛物线的表达式………………………………………（1分）
（2）抛物线
对称轴为直线……………………………………………………（1分）
原抛物线在直线的右侧呈上升趋势
……………………………………………………………………（1分）
…………………………………………………………………………（1分）
……………………………………………………………………（1分）
（3）的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点
………………………………………………………………（1分）
原抛物线与轴的两个交点为点、点
…………………………………………………………………………（1分）
设
当直线与直线垂直时，
…………………………………………………………………（1分）
………………………………………………………（1分）
25．（本题共14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
（1）
设，
△是等边三角形
…………………………………………………（1分）
在△中，
解得：…………………………………………………………………（1分）
再证△∽△……………………………………………………………（1分）
…………………………………………………（1分）
（2）先证△△
…………………………………………………………………（1分）
在△中，……………………………（1分）
在△中，……………………………（1分）
…………………（1分）
即：
……………………………………………………………（1分）
（3）先证
当△与△相似时
此时△△
点与成点重合（不合题意舍去）………………………………………………（1分）

………………………………………………………（1分）
在△中，可以设
△与△相似
即
……………………………………………………………………………（1分）
在△中，
解得：………………………………………………………………………（1分）
……………………………………………………………（1分）