(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题21 概率与成对数据的统计分析(讲义)（2份，原卷版+解析版）

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一、事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.
常用结论：
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
二、离散型随机变量及其分布列和数字特征
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－E（X））2pi)为随机变量X的方差，并称eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
常用结论：
随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
三、二项分布与超几何分布、正态分布
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
4.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·eeq \f(－（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.
②曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
常用结论：
1.二项分布当n＝1时就是两点分布.
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
一、填空题
1．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
【答案】0.087
【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果．
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．
2．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
【答案】32
【解析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
【解析】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
3．已知随机变量，且，则________.
【答案】0.3
【分析】由正态分布的性质可得，根据和
可得，结合计算即可.
【解析】由正态分布的性质可知：，曲线关于对称，
故，结合正态分布的性质，
得，即，
又，所以，
故.
故答案为：0.3
4．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布（1000，）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.
【答案】375
【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值.
【解析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，
则部件正常工作超过10000小时的概率为，
又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.
故答案为：375.
【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则_________．
【答案】
【解析】先求得的所有可能取值，再根据相互独立事件概率计算公式进行计算，从而求得期望值.
【解析】依题意可知的可能取值为，且：
，
，
，
，
所以.
故答案为：
6．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，
【解析】根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.
【解析】，故
.
，
.
要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得
①，
由于为互不相等的正实数，故，也即
，也即.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.
7．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为_____________
【答案】
【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为，求得每局比赛甲胜的概率P，再由采取7局4胜制得到X的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其相应概率，列出分布列求解.
【解析】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为，
且每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p，
所以，
解得 ，
X的可能取值为：4，5，6，7，
则 ，
，
X的分布列为：
所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x的数学期望为：
故答案为：
8．给出下列说法：
①回归直线恒过样本点的中心；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；
④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是_____________.
【答案】①②④.
【分析】①回归直线恒过样本点的中心；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，平均值不变，方差改变；
④回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减少.
【解析】①回归直线恒过样本点的中心，正确；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，正确；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，平均值不变，方差改变，故错误；
④回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减少，故正确.
故答案为：①②④.
9．根据下面的数据：
求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为___________.(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)
【答案】3.2
【分析】把x的各个值代入回归直线方程，求出y的估计值，再计算出对应的残差，最后求出它们的方差得解.
【解析】把x=1，2，3，4依次代入回归直线方程为，所得估计值依次为：，，
对应的残差依次为：0.8，-2.4，2.4，-0.8，它们的平均数为0，
所以4个残差的方差为.
故答案为：3.2
10．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
【答案】19
【分析】根据正态分布的对称性，求得概率，根据二项分布的均值计算，可得答案.
【解析】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为.
故答案为：19.
11．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得，，，，则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为__________．
附：线性回归方程中， ，，其中，为样本平均值.
【答案】
【分析】根据题中提供的数据先求得，再求得，进而求得，故可得.
【解析】由题意知，，，
又，，
由此得，故所求回归方程为.
故答案为：.
12．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.
【答案】18
【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.
【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.
故答案为：18.
二、单选题
13．已知，，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的计算公式，即可求解答案.
【解析】由题意，根据条件概率的计算公式，
由已知，
则，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数）
则等于（ ）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【答案】C
【分析】由概率总和为1，则，求得结果.
【解析】由概率之和等于1可知，
.
故选：C.
15．将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个3点”，则条件概率P（A|B），P（B|A）分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P（A|B），P（B|A）的意义，即可得出结论.
【解析】解：根据条件概率的含义，
P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，
∵“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6﹣5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共×5×4＝60种，∴P（A|B）＝；
P（B|A）其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个3点”的概率，
∵“三个点数都不相同”的情况数目为，“至少出现一个3点”则三个点都不同有种，∴P（B|A）＝
故选：A.
16．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】A
【分析】利用条件概率公式即可求解.
【解析】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
B表示取得的X光片为次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
则由全概率公式，
所求概率为P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
故选：A
17．已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和两种情况分别去求数学期望，再进行比较即可解决.
【解析】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
.
即.
则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：C
18．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可
【解析】由题可知，，，则
解得，由可得，
答案选A
【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功
19．设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时（ ）
A．平均增加1.5个单位B．平均增加2个单位
C．平均减少1.5个单位D．平均减少2个单位
【答案】C
【分析】根据所给的回归直线的方程把自变量由变为时，表示出变化后的值，两式相减即可求解.
【解析】因为直线回归方程为：①，
当变量增加一个单位时②，
由②①可得：，
所以变量增加一个单位时平均减少1.5个单位，
故选：C.
20．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：
根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额最接近（ ）A．123万元B．128万元C．133万元D．138万元
【答案】C
【分析】由表格数据求样本中心，根据回归直线过样本中心点求，将代入方程求销售额估计值即可.
【解析】由表格数据知：，，
∴由回归方程，有：，即，故，
∴当万元时，万元.
故选：C.
21．对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定散点图先判断正相关、负相关，再根据点的集中程度分析相关系数大小作答.
【解析】依题意，图1和图3是正相关，相关系数、大于0，图2和图4是负相关，相关系数、小于0，
图1和图2中的点相对于图3和图4更加集中，则有相关性要更强些，相关系数的绝对值要大一些，
所以.
故选：A
22．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．对任意正数，D．对任意正数，
【答案】C
【分析】根据正态分布密度曲线的性质判断即可．
【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误
故选：C
23．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为，）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】A
【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.
【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，
所以，，，故A正确，C错误；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中），
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误．
故选：A．
24．当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁．为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表：
则下列说法一定正确的是（ ）．
附：（其中）．
临界值表：
A．有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”
B．有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”
【答案】A
【分析】由列联表中数据计算的观测值，对照临界值得出结论．
【解析】解：由列联表中数据，计算，且，
所以有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”．
故选：．
25．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加B．增加，减小
C．减小，增加D．减小，减小
【答案】C
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
26．已知随机变量的分布列如图，当变化时，下列说法正确的是（ ）
A．，均随着的增大而增大
B．，均随着的增大而减小
C．随着的增大而增大，随着的增大而减小
D．随着的增大而减小，随着的增大而增大
【答案】A
【分析】利用期望和方差公式求出期望和方差，由分布列的性质求出得范围即可求解.
【解析】由分布列可得：，
，
由概率的性质可得：可得，
随着的增大而增大，
开口向下，在单调递增，
所以，均随着的增大而增大，
故选：A.
三、解答题
27．为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.
(1)求两人不申请同一套住房的概率；
(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）设出事件，求出两人申请同一套住房的概率，再利用对立事件求概率公式求出两人不申请同一套住房的概率；
（2）方法一：求出的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望；
方法二：得到，再根据二项分布的性质求出分布列和数学期望.
【解析】（1）设两人申请同一套住房为事件，
，
所以两人不申请同一套住房的概率为；
（2）方法一：随机变量可能取的值为.
，
，
，
所以的分布列为
所以数学期望.
方法二：依题意得，
所以，
所以的分布列为
所以数学期望.
28．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）利用古典概型求概率的公式求概率即可；
（2）利用古典概型求概率的公式求概率，然后写分布列，最后求期望即可.
【解析】（1）设甲测试合格为事件，则.
（2）甲答对的试题数可以为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
.
29．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
【答案】(1)；
(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；
②.
【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；
⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；
②利用条件概率求概率的方法求概率即可.
（1）
从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，
其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，
解得（负值舍去）.
（2）
①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
相应的概率分别记为，
，，
，，
.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.
30．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；
(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；
(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）由频率估计概率即得；
（2）设中位数为，由中位数定义知，即得；
（3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.
【解析】（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人，
所求概率；
（2）设中位数为，
由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为，
故，
，
解得：，
即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为；
（3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，
则，
所以,
,
,
,
所以的分布列为：
所以.
31．为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：
(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；
(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：
如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.
（i）求时的概率；
（ii）证明：.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）由已知可得平均数，即，根据正态分布的性质可得概率
（2）（i）利用事件相互独立事件的概率乘法公式直接可得概率；（ii）分别计算随机变量取各值时的概率，进而可得证.
（1）
这人的平均成绩为，
所以近似等于，
故；
（2）
（i）当时，次抽取话费的金额情况是有两次抽到元，一次抽到元，
因为每次抽取是相互独立的，所以，
（ii）证明：由题意知的所有可能取值为，，，，，，，，，，则，
又，
，
，
，
由（1）知，，
所以，
又，
所以，
即，所以.
32．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.
已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为
附：，其中.
(1)完成上面的2×2列联表；
(2)根据（2）中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关?
【答案】(1)详见解析
(2)没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
【分析】（1）根据从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为得到调查满意度为满意的人数，然后填2×2列联表即可；
（2）根据2×2列联表计算，然后判断即可.
【解析】（1）根据题意，满意的总人数为，
∴完成2×2列联表如下：
（2）∵，
∴没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
33．为了满足同学们多元化的需求，某校食堂每周开发一次新菜品，为了了解学生对新菜品的喜爱情况，他们采用给新菜品打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图.
(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成上面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对新菜品的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢新菜品）？
附：，.
【答案】(1)73.5
(2)没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.
【分析】（1）利用频率和为1，补全频率直方图，通过（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）求出平均数.
（2）根据题意填得列联表，代入公式计算可得.
【解析】（1）各组数据频率之和为1，故组频率，所以纵坐标为.样本频率分布直方图如下图.
样本的平均数
（2）
.
故没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.
34．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
其中，.
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)根据散点图判断，在推广期内，与 （均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
【答案】(1)适宜；
(2)，3470.
【分析】（1）根据散点图判断适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程型；（2）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第八天使用扫码支付的人次.
（1）
由于表中点的走势不在任何一条直线附近，因此应该是非线性的，故可判断适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型;
（2）
，两边同时取常用对数得: ;
设
，
，
把样本中心点代入，得:，
，
关于的回归方程式:.
把代入上式:,
故活动推出第8天使用扫码支付的人次为.
35．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为可选作为“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)12轮
【分析】（1）根据已知条件结合条件概率的概率公式求解，
（2）的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望，
（3）根据题意，结合二项分布的概率公式求解
（1）
由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个，
设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”，事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则， ，
所以
（2）
“单板滑雪”参与人数超过45人的学校有4所，则的可能取值为0，1，2，3，
,
,
,
,
所以的分布列为
所以
（3）
由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为
，
所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满足
，
由，得，
所以理论上至少要进行12轮测试
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
4
5
6
7
p
1
2
3
4
32
48
72
88
0
1
2
3
4
5
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
4
5
6
7
8
60
80
90
100
120
感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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