新高考数学二轮压轴题圆锥曲线专题练习 第二讲：面积问题一（2份，原卷版+解析版）

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基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解三角形，四边形面积；
拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、三角形面积问题
直线方程：
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数.
4、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
【考点剖析】
考点一：求三角形面积
例1．已知椭圆，的左焦点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积.
例2．已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积．
变式训练2：已知抛物线的焦点为，直线与抛物线的准线交于点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，求的面积．
例3．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
变式训练3：已知中心在原点的双曲线的右焦点为，直线与双曲线的一个交点的横坐标为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积．
考点一：求四边形面积
例1.已知为椭圆的左右顶点，，椭圆的离心率为．
(1)求的方程．
(2)斜率为1的直线与抛物线相切，且与相交于两点，求四边形的面积．
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴的下端点A的坐标为，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且直线与坐标轴不垂直，，的中点为G，求四边形的面积.
例2．已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，点在轴正半轴上，点为上两个不同的点，其中点在第四象限，且，互相垂直平分，求四边形的面积.
变式训练2：设抛物线的焦点为，过点的直线与交于点，，且．
(1)求的方程；
(2)过点作的一条切线，与轴交于点，与直线交于点，过作直线的平行线与直线交于点，若，求四边形的面积．
考点二：已知面积求参
例1．已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
变式训练1：已知椭圆，由的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求的方程；
(2)直线过的右焦点，且和交于点，设是坐标原点，若三角形的面积是，求的方程．
例2．已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
变式训练2：已知抛物线与直线相交于两点，为坐标原点.
(1)求证：；
(2)当时，求的值.
例3．已知椭圆，由的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
(1)求的方程；
(2)过的右焦点做相互垂直的两条直线，，分别和交点，若由点构成的四边形的面积是，求，的方程.
变式训练3：已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．
(1)求动点的轨迹所形成曲线的方程；
(2)，分别过，作斜率为的直线与曲线交于轴上方两点，若四边形的面积为，求的值．
例4．已知抛物线：（）的焦点为，点是抛物线内一点，为抛物线上的动点，且的最小值为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率之和为的两条直线，（的斜率为正数），其中与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，若四边形的面积等于，求直线的方程.
考点三：内切圆半径（面积）
例1．已知椭圆的离心率为，且点在上.
(1)求椭圆标准方程；
(2)设，为椭圆的左，右焦点，过右焦点的直线交椭圆于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
变式训练1：如图，为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
例2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．
变式训练2：已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，若内切圆的周长为，求直线的方程．
例3．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
考点三：面积定值
例1．已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
变式训练1：已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
例2．在平面直角坐标系中，已知点，直线，点满足到点的距离与它到直线的距离之比为，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点，试问的面积是否为定值?请说明理由．
变式训练2：已知椭圆的离心率为，短半轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)若不过坐标原点的直线与C交于两点，延长线段与分别交于点，若直线的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值．
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）弦长和三角形的面积公式；
（2）四边形的面积求解；
（3）内切圆半径公式；
2、易错点：面积公式的计算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且____________．
在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为；③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于、两点．当直线的倾斜角为时，求的面积．
3．已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.
4．已知双曲线的离心率为，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
5．已知椭圆经过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．
6．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设C的左､右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.
7．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)过点M的直线l与抛物线C相交于M，N两点，且的面积为3，求直线l的方程．
8．已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆的两交点为，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．
9．已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
10．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
11．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，． 求证：为定值．
12．已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4.经过点且不经过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程，并写出左､右顶点的坐标；
(2)求证：的面积为定值.