安徽省江南十校2025届高三下学期第一次联考（一模）数学试题（Word版附解析）

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是直线一个方向向量，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D.
4. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 5
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的方差为4
B. 数据的平均数为17
C. 数据的平均数为10，方差大于1
D. 若数据的中位数为分位数为，则
10. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D. 过三点平面与圆台下底面的交线长为
11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题；本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为_____________．
13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.
14. 程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为.
（1）记“”为事件，求；
（2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望.
16. 已知函数.
（1）若，求在上的极大值；
（2）若函数，讨论函数在上零点的个数.
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形.
（1）若分别是棱的中点，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值.
18 已知动点满足关系式.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
19. 设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为.
（1）若对任意都成立，且.
①求数列的通项公式；
②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和.现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值.
（2）若对任意都成立，试证明：.