湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷 含解析

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷 含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解对数不等式化简集合，由集合的交并补混合运算即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
2. “”是“函数在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数性质分析可知若函数在上单调递减，等价于，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解.
【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为，
若函数在上单调递减，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
3. 学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ）
A. 350B. 700C. 2100D. 4200
【答案】A
【解析】
【分析】根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】7门选修课中往意选择3门，共有种选择，
从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法，
故总的选法有种，
故选：A
4. 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
5. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.7B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】根据正态曲线的对称性可得,
故选：C
6. 某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求出，即可得到，再根据二项分布的方差公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
则，所以.
故选：B
7. 若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【详解】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，
解得.
故选：C.
8. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】因为，，则，
又，即，
所以，故B错误；
，，∴，
∴，故A错误；
，，∴，故C正确.
因为，
，∴，∴，
∴，故D错误.
故选：C.
二、多选题
9. 已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，当时，若，则，故B错误；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可
【详解】解：由，得
，则
其展开式的通项公式为，
对于A，令，则，所以A错误，
对于B，令，则，所以B正确；
对于C，在中令，则，所以C错误；
对于D，，所以D正确，
故选：BD
11. 已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 方程无实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：由已知可得，代入原方程可判断A；于B：由已知可得，代入原方程可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD.
【详解】对于A：由，可得，将代入原方程，
可得，故A正确；
对于B：若，可得，将代入原方程，
得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；
对于C：令，
则，令，可得，
当时，，所以单调递增，即，
当时，，所以单调递减，即，
所以当时，，
在区间上的值域为，故C正确；
对于D：由上可知在区间上的值域为，
所以无实数解，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12. 曲线与直线平行的切线方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】对求导，建立方程求出切点，由此即可得解.
【详解】，，由题意令，解得，
而，所以所求直线方程为，即.
故答案为：.
13. 现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为______．（用数字作答）
【答案】12
【解析】
【分析】分甲和除乙外的1个人分为一组和甲和除乙外的2个人分为一组，再进行全排列，相加得到结果.
【详解】甲和除乙外的1个人分为一组，再和工厂进行全排列，
故有种方法，
甲和除乙外的2个人分为一组，再和工厂进行全排列，
故有种方法，
综上，共有种方法.
故答案为：12
14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解.
详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，
由题意可知，，，，
则，
，
所以第2天去餐厅的概率为；
由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以.
故答案为：；
四、解答题
15. 已知集合，.
（1）求，；
（2）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将集合化简，结合集合的运算，带入计算，即可求解；
（2）由题意可得，再由，列出不等式，代入计算，即可求解.
【小问1详解】
因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
若，则，解得，
所以m的取值范围是.
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
【答案】（1）
（2）；
（3）第6项和第7项
【解析】
【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果；
（2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解；
（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解.
【小问1详解】
，
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以.
【小问2详解】
，
当为整数时为有理项，
即，
则的取值集合为；
小问3详解】
设第项的系数最大，
则，
所以，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
17. 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中.
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
【答案】（1）选择模型②
（2）；10人
【解析】
【分析】（1）根据残差图即可求解；
（2）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值.
【小问1详解】
选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适；
【小问2详解】
根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．
18. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
附：其中
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）分布列见解析，（ii）
【解析】
【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断；
（2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得
【小问1详解】
零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
因为，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.
【小问2详解】
（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为
，
.
X的分布列如下：
.
（ii）击中一次被扑灭概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；
（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；
（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．
【小问1详解】
因为，所以，则切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
【小问2详解】
，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时，
综上，的值为或；
【小问3详解】
函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
则，所以，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减，
所以当时，，
因为恒成立，
所以，则的最大值为．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
7.5
2.25
82.50
4.50
1214
2.88
晴天
雨天
命中
45
30
不命中
5
20
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
晴天
雨天
合计
命中
45
30
75
不命中
5
20
25
合计
50
50
100
X
0
1
2
3
P