2025随州部分高中高二下学期3月联考数学试题含解析

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本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
考试范围：
选择性必修一；选择性必修二第 4 章
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 如图所示，在三棱柱 ABC­A1B1C1 中，D 是面 BB1C1C 的中心，且 ＝a， ＝b， ＝c，则
＝( )
A. a＋ b＋ c B. a－ b＋ c
C. a＋ b－ c D. － a＋ b＋ c
【答案】D
【解析】
【分析】由 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝c＋ (－ ＋ ＋ )即可得解.
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【详解】 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝c＋ (－ ＋ ＋ )＝c－ a＋ (－c)＋ b
＝－ a＋ b＋ c.
答案：D．
【点睛】本题主要考查了向量的加法和减法运算，属于基础题.
2. 若过点 ， 的直线的斜率等于 1，则 的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 1 或 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：A.
3. 过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【详解】由题意设所求方程为 ，
因为直线经过点 ，
所以 ，即 ，所以所求直线为 .
故选：A.
4. 已知条件 直线 与直线 平行，条件 ，则 是 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断
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【详解】当直线 与直线 平行时，
，解得 ，
当 时，直线 与直线 重合，
所以 是 的既不充分也不必要条件，
故选：D
5. 已知椭圆的两个焦点分别为 ， 为椭圆上任意一点，若 ， 的
等差中项，则此椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差中项化简后得出 ，然后求椭圆的标准方程
【详解】由题意 ，故 ，又 ，则
焦点在 轴上，故椭圆的标准方程为
故选：D
6. 若数列 满足 ， ，则数列 中的项的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数列 满足的递推关系及 ，依次取 代入计算 ，能得到数列
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是周期为 4 的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】数列 满足 ， ，依次取 代入计算得，
， ， ， ，因此继续下去会循环，数列
是周期为 4 的周期数列，所有可能取值为： .
故选：D.
7. 已知数列 满足 ， 为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出数列 的前 5 项，再由对勾函数的性质可得 ， 的单调性，从而即可得最
大值.
【详解】解：由 ，得 ， ， ， ， ．
又 ， ，
又因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ．
故选：B．
8. 已知等差数列 前 n 项和为 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】由题设及等差数列前 n 项和公式可得 ，求 的数量关系，进而求 即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由题设， ，可得 ，
∴ .
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. “若 是不共线的四点，且 ' “四边形 是平行四边形”
【答案】AD
【解析】
【分析】根据共线向量的定义判断 A，根据单位向量的定义判断 B，根据相等向量的定义判断 C，根据相等
向量及平行四边形的性质判断 D.
【详解】解：对于 A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故 A 正确；
对于 B：单位向量的模为 ，但是方向不一定相同，故 B 错误；
对于 C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故 C 错误；
对于 D：若 是不共线的四点，且 ，则 且 ，所以四边形 是平
行四边形，故充分性成立，
若四边形 是平行四边形，则 ，故必要性也成立，故 D 正确.
故选：AD
10. 设 是等差数列， 是其前 n 项的和，且 则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 与 均为 的最大
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值
【答案】ABD
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意，得到 ，结合等差数列的性质，逐项
判定，即可求解.
【详解】根据题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，
对于 A 中，由 ，所以 A 正确；
对于 B 中，由 ，所以 B 正确；
对于 C 中，由 ，所以 ，所以 C 不正确；
对于 D 中，由 ，可得数列 为递减数列，且 ，所以 ，
所以 和 均为 的最大值，所以 D 正确.
故选：ABD.
11. 设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是数列 中的最大值
D. 数列 无最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】根据条件 判断 ，分 和 两情况讨论 得成立与否得出
，即可判断 A；对于 B，利用 A 的结论和等比数列项的性质即可判定；对于 C，D，由前面推得的
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即可判断.
【详解】对于 A，由 可得， （*），
由 可得 .
当 时，因 ，则 ，则（*）不成立；
所以 ，则 ，（*）成立，故 ，即 A 正确；
对于 B，因 ，故 B 正确；
对于 C,D，由上分析 ，且 ，
则 是数列 中 最大值，故 C 错误，D 错误.
故选：AB
【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到
前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容
易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 经过椭圆 M： 的左焦点和上顶点的直线记为 l.若椭圆 M 的中心到直线 l 的距离
等于 2，且短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆 M 的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的截距式方程，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为经过椭圆 M： 的左焦点和上顶点的直线记为 l，
所以直线 l 的方程可设为 ，
因为圆 M 的中心到直线 l 的距离等于 2，
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所以 ，
因为短轴长是焦距的 2 倍，所以 ，
因此有 ，
所以椭圆 M 的方程为 ，
故答案为：
13. 已知椭圆 的左焦点为 F，若 A､B 是椭圆上两动点，且 垂直于 x 轴，则 周长的最
大值为___________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解.
【详解】如图.设 与 x 轴相交于点 C，椭圆 右焦点为 ，
连接 ，
所以 周长为
故 的周长的最大值为 12，
故答案为：12.
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14. 在数列 中， ， ，则通项公式 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和.
【详解】因为 ，即
则 ，
，
所以
，
即 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分
15. 如图，在长方体 中， ， 为 的中点.
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（1）求证： .
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 .若存在，求 的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）以 为原点建立空间直角坐标系，证明 即可；
（2）设 ，求出平面 的一个法向量 ，满足 即可求出 ，即可
得出.
【详解】（1）证明：以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角
坐标系（如图）.
设 ，则 ， ， ， ， ，
故 ， ， ， .
因为 ，所以 .
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（2）假设 棱 上存在一点 ，使得 平面 ，此时 .
又设平面 的法向量 ，
所以 ，得 ，取 ，得平面 的一个法向量 .
要使 平面 ，只要 ，有 ，解得 .
又 平面 ，所以存在点 ，满足 平面 ，此时 .
【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，
破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式
关”.
16. 已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线 l 过定点；
（2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
（3）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 S，求 S 的最
小值及此时直线 l 的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）S 的最小值为 4，直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0．
【解析】
【分析】（1）直线方程化为 y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线 l 总过定点；
（2）考虑直线 斜率及在 y 轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求
出直线方程.
【详解】（1）证明：
直线 l 的方程可化为 y＝k（x＋2）＋1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点（－2，1）．
（2）直线 l 方程为 y＝kx＋2k＋1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k＋1，要使直线 l 不经过第四象限，则
解得 k≥0，故 k 的取值范围是 ．
（3）依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为 ，在 y 轴上的截距为 1＋2k，
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∴A ，B（0，1＋2k）．
又 且 1＋2k＞0，
∴k＞0．
故 S＝ |OA||OB|＝ × ×（1＋2k）＝ ≥ ×（4＋ ）＝4，
当且仅当 4k＝ ，即 k＝ 时，取等号．
故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0．
17. 在数列 中， ， .
（1）设 ，求证数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】(1)根据给定的递推公式结合 进行变形，再将 代入整理即可
得解.
(2)利用(1)的结论求出数列 的通项公式即可计算作答.
【小问 1 详解】
在数列 中， ， ，则当 时，有 ，
两式相减得： ，而 ，即 ，则有 ，
整理得 ，即 ，
所以数列 是等差数列.
【小问 2 详解】
由 得： ，而 ，则 ， ， ，
因此，等差数列 公差 ，即 是以 为首项， 为公差的等差数列，
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则 ，即 ，于是得： ，
所以数列 通项公式 .
18. 记数列 的前 n 项和为 ，对任意 ，有 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若当且仅当 时， 取得最大值，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数列 ，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由条件转化为 ，再转化为关于首项的不等式，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ①，则 ②
①－②可得
，
故 为等差数列．
【小问 2 详解】
若当且仅当 时， 取得最大值，
则有 ,得 则 ， ，
故 的取值范围为 ．
19. 在① ， ，② ， ，③点 在直线
上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列 的前 n 项和为 ，___________.
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（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前项和 .
【答案】条件选择见解析；（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）若选①，根据已知条件考虑 对应的等式，两式作差得到 的关系，通过条件证明
是等比数列，并求解出通项公式；若选②，根据已知条件考虑 对应的等式，结合
得到 的关系，通过条件证明 是等比数列，并求解出通项公式；若选③，将
点代入直线方程，然后根据 得到 的关系，通过条件证明 是等比数列，并求
解出通项公式；
（2）先求解出 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和.
【详解】（1）方案一：选条件①.
∵ ，∴当 时， ，
两式相减，整理得 ，
∵ ，∴ ， ，
所以 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ .
方案二：选条件②.
∵ ，∴当 时， ，
两式相减，整理得 ，
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∵ ， ，∴ ， ，
所以 ，
∴数列 是以为 首项， 为公比的等比数列.
∴
方案三：选条件③.
∵点 在直线 上，
∴ ，∴ ，
两式相减，整理得 ，当 时， ，得 ，
∴数列 是以为 首项， 为公比的等比数列，
∴ .
（2）由（1）可得， ，则 ，
，
两式相减得
∴ .
【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列 的前 项和 的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列 的一般形式： ；
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（2）将（1）中的关于 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比 ；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第 2 项，依次类推，
得到结果；
（4）利用等比数列的前 项和公式以及相关计算求解出 .
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