贵州省安顺市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

这是一份贵州省安顺市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析，共16页。试卷主要包含了 下列命题中正确的是， 设，，，则， 已知函数，则， 已知为正实数且，则的最小值为， 下列命题是真命题的是， 下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合B，结合韦恩图求出即可得解.
【详解】由，得或，则，，
由韦恩图知，阴影部分对应的集合表示为.
故选：A
2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求解即得.
【详解】依题意，.
故选：C.
3. “”是“函数存在零点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数的图象性质判断即可.
【详解】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解，而，
因此，反之当时，有解，
所以“”是“函数存在零点”的充分必要条件.
故选：C
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】对选项A和B，结合各个选项的条件，利用作差法，即可求解；对于选项C和D，通过取特殊，即可求解.
【详解】对于A，由，
又，，则，得到，即，故A正确；
对于B，因为，又，，则，故，即B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：A.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本函数的单调性，得到，，即可求解.
【详解】因为在区间上单调递增，又，所以，
又易知是减函数，所以，
因为在上单调递增，所以，且，则，
故选：A.
6. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的定义域是
C. 在区间上单调递增
D. 不等式的解集是，
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正切函数图象、性质逐项判断.
【详解】对于A，函数的最小正周期是，A错误；
对于B，由，得，
所以函数定义域为，B错误；
对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误；
对于D，不等式，则，
解得，
所以不等式的解集是，D正确.
故选：D
7. 已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：D
8. 某同学在研究高一数学问题时，给出下列四个问题：
（1）对于，都有在区间上恒成立，则函数在区间上是增函数；
（2）函数在区间上的最大值为，最小值为，则；
（3）从午夜零时算起，时钟的时针和分针一天内会重复的次数是次；
（4）函数是偶函数，且在区间上单调递减.
你认为正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对（1），根据条件可得在上恒成立，即可求解；对（2），构造函数，可得是奇函数，由奇函数的性质，即可求解；对（3），设经过分钟，分针与时针重合，两针重合的次数为，根据题意有，进而可得，即可求解；对于（4），利用奇偶函数的判断方法及复合函数单调性的判断方法，即可求解.
【详解】对于（1），因为对于，都有在区间上恒成立，
则，根据单调性的定义，若时，，
所以函数在区间上是增函数，故（1）正确，
对于（2），由，得到，
令，因为，
所以的定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数，
又函数在区间上的最大值为，最小值为，所以在区间上，，
又，得到，所以（2）正确，
对于（3），设经过分钟，分针与时针重合，两针重合的次数为，
因为分针每分钟旋转的角度为，时针每分钟旋转的角度为，
所以，得到，
又时针旋转一天所需的时间为，所以，得到，故（3）错误，
对于（4），易知的定义域为，关于原点对称，
又，
所以是偶函数，
又当时，，，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由复合函数的单调性知，在区间上单调递减，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故（4）正确，
故选：C.
【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）和第（4），对于第（2），通过构造函数，利用函数的奇偶性求解；对于第（4），将问题转化成复合函数的单调性来处理，再利用三函数的单调性，即可求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数与函数是同一个函数
C. 若幂函数在区间上单调递减，则
D. 函数的零点是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，直接写出命题“，”的否定，即可求解；对于B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对于C，利用幂函数的定义及性质，即可求解；对于D，利用函数零点的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同，
故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确，
对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减，
所以，得到，故选项C正确，
对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误，
故选：BC.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数的值域为
C. 若函数的值域为，则实数的取值范围
D. 若，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦函数的奇偶性判定A；利用同角三角函数关系和配方法求值域判定B；利用对数函数的性质，结合一次函数，二次函数的性质求实数a函的范围，判定C;利用两角和的正弦公式化简整理已知等式，结合给定范围先求得的值，再利用两角差的正弦公式化简变化，进而利用特殊角的三角函数求值，即可判定D.
【详解】对于A：，定义域，满足偶函数的定义，故A正确.
对于B：，由于的值域为,所以原函数的值域为，故B正确.
对于C：若函数的值域为，则函数的值域包含所有正数.
当时满足题意；
当时，有，解得，
综上可知，实数a的取值范围是，故C正确.
对于D: 因为,若，则，与矛盾，故D错误.
故选：ABC
11. 若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的一条对称轴为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数为偶函数，函数fx−1的图象关于点成中心对称，求出是周期为4函数，利用赋值法、周期性逐项判断可得答案.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
故，所以是图象的一条对称轴，所以，
又函数fx−1的图象关于点成中心对称，
因为函数fx−1的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，
所以函数关于点2,3成中心对称，故，
所以，故且，
所以，所以，
所以，故，所以为周期函数，
且周期为4，
对于A，由、得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
所以的一条对称轴为，故C正确；
对于D，因为，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是利用已知条件判断出是周期为4的函数.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. “数折聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知D为的中点，，，则此扇面（扇环）的面积是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解.
【详解】依题意，此扇面面积为.
故答案为：
13. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】通过令，得，再结合条件，即可求解.
【详解】令，则，所以，
得到，
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按分段求出方程的解，进而求出所有根的和.
【详解】依题意，，因此；
，当时，，则，解得或；
当时，若，则，，
由，得，解得；
若，则，，
由，得，解得或，
所以函数的所有零点之和为.
故答案为：1；
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用指、对数的运算，即可求解；
（2）利用诱导公式化简得，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.
【小问1详解】
因为
【小问2详解】
因为，
又，所以.
16. 已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
（1）若，求函数的定义域及实数的取值范围；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由对数函数的定义列出不等式求出集合A，进而求出的定义域；解含参的不等式求出集合B，再利用集合的包含关系求出范围.
（2）求出函数的单调区间，利用集合的包含关系求出范围.
【小问1详解】
函数中，，解得或，
因此，函数中，
，即，解得，因此，
由或，解得或，
所以函数定义域为；
由，得，则，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知，函数的递增区间为，递减区间为，
依题意，，则且，解得，
所以实数的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若时，的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到，再利用的单调区间，即可求解；
（2）令，得到，利用的性质，求出的取值范围，结合条件，即可求解.
【小问1详解】
因为，
由，得到，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，令，则，
因为，则，所以，则，
又因为的最小值为，所以，得到.
18. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?
【答案】（1）选择，
（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为
【解析】
【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
对于，当时，它无意义，所以不合题意，
对于，易知是减函数，由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意，
所以选，由表中数据可得，
解得，，所以当时，.
【小问2详解】
国道路段长为，所用时间为，
所耗电量为，
因为，当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为，
当且仅当即时等号成立.
所以：
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
19. 已知定义在上的函数（且）.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若，函数，，求函数的值域；
（3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明.
（2）求出值，判断的单调性，并求出时的范围，再变形并借助二次函数求出值域.
（3）化简函数并探讨其性质，进而脱去函数不等式中法则“h”转化为二次函数在闭区间上恒成立问题求解.
【小问1详解】
函数是R上的奇函数，
证明：由，得，，
所以函数是R上的奇函数.
【小问2详解】
由，得，即，而，解得，
函数，函数在R上都是增函数，
因此是R上的增函数，故当时，，
，
则当时，，当时，，
所以函数的值域是.
【小问3详解】
当时，函数在R上都增函数，
因此是R上的增函数，而，
当时，；当时，，
因此，，故函数是R上的偶函数，且在上单调递减，
不等式，
因此，则依题意对任意，恒成立，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第3问，化简函数，并探讨其性质是求解问题的关键.