2024-2025学年贵州省六盘水市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年贵州省六盘水市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
2.已知复数z=1− 3i，则z=( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
3.已知集合A=x|x−2≤0,B=−2,−1,1,3，则A∩B=( )
A. −2,−1,1,3B. −2,−1,1C. −1,1,3D. −1,1
4.已知空间向量a=2,−1,2，b=−1,2,x，若a⊥b，则实数x的值是( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
5.如图，①②③④不可能是函数y=ax或y=lgax(其中a>0且a≠1)的部分图象的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
6.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90 ∘，AC=BC=AA1=2，点P是AC的中点，则直线B1C与BP所成角的余弦值为( )
A. 15B. 1010C. 105D. 3 1010
7.已知直线y=x+m被圆x2+y2+2x−15=0截得的弦长为4 2，则m=( )
A. −1或3B. 2C. −3或5D. 4
8.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.5mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.3mg/cm3，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为( )(参考数据：lg5≈0.7，lg7≈0.85)
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2
B. 若x>0，则x+4x≥4
C. ∃x∈R，x2>2x
D. “x=π4”是“tanx=1”的充要条件
10.函数fx=2sinωx+π6ω>0的部分图象如图所示，则( )
A. ω=2
B. 函数fx+5π12是奇函数
C. 函数y=fx在区间5π3,13π6上单调递增
D. 函数y=fx的图象的对称轴方程为x=π6+kπ2，k∈Z
11.曲线C:x24+y2t=1(t≠0且t≠4)的两个焦点为F1，F2，过焦点F1且不垂直于坐标轴的直线l交C于A,B两点，则( )
A. 当t=−1时，C的渐近线方程为y=±2x
B. 当t=1时，△ABF2的周长为8
C. 若AF1⋅AF2存在最大值为9，则C的离心率为 53
D. 当t0的焦点为F，点Pm,4在抛物线上，若PF=5，则m= ．
14.已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了解某学校的学生周末对体育频道的观看情况，从观看了体育频道的学生中随机抽取100名进行调查，发现他们的观看时长都在40∼100分钟之间，据此绘制出学生观看体育频道所用时长的频率分布直方图如下．
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)为了解学生对体育频道的喜好程度，用按比例分配的分层抽样方法从观看时长在80,100内的学生中抽取5人作进一步分析，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人的观看时长在80,90内的概率．
16.(本小题12分)
如图，在▵ABC中，AB=4，BC=5，cs∠ABC=18．
(1)求sinC；
(2)若2AD=DC，求点C到直线BD的距离．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，∠PAD=120 ∘，PA=AD=AB=2，BC=1，M是线段BD上的动点．
(1)求证：AB⊥PD；
(2)设直线PM与平面ABCD所成的角为θ，求sinθ的最大值．
18.(本小题12分)
已知直线l1:y=k1x−1与l2:y=k2x+1相交于点M，且k1+k2=2．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l与C交于A,B两点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O．
(ⅰ)证明：直线l与圆x2+y2=1相切；
(ⅱ)求▵OAB面积的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数fnx=1x−1+2x−2+3x−3+⋯+nx−nn∈N∗．
(1)证明：函数f2x=1x−1+2x−2在区间1,2上单调递减；
(2)在如图的坐标系中画出函数f3x的大致图象，并求方程f3x=2的所有实数根之和；
(3)求不等式f9x≥145的解集的区间长度之和．
附：①区间a,b的长度为b−a；②若关于x的方程anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0=0an≠0有n个实数根为x1，x2，…，xn，则x1+x2+⋯+xn=−an−1an．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.ABC
11.BCD
12.58/0.625
13.m=4或m=1
14.532π
15.【详解】(1)由题0.005+x+0.03+0.025+x+0.01×10=1⇒x=0.015
(2)由(1)可知观看时长在80,90内对应频率为0.015，90,100内对应频率为0.01．
则5人中，观看时长在80,90内的有5×+0.01=3，设为A1,A2,A3，
在90,100内的有2人，设为B1,B2．
则从5人中随机抽取2人的情况有：A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2共10种，
其中2人的观看时长在80,90内的情况有3种，则所求概率为310．

16.【详解】(1)因AB=4，BC=5，cs∠ABC=18，由余弦定理，
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，则AC= 16+25−2×4×5×18=6．
又由正弦定理，ACsin∠ABC=ABsinC⇒sinC=ABsin∠ABCAC，
结合cs∠ABC=18⇒sin∠ABC= 1−cs2∠ABC= 638=3 78，
则sinC=ABsin∠ABCAC=4×3 786= 74．
(2)由(1)S▵ABC=12BA⋅BCsin∠ABC=12×4×5×3 78=15 74，
又2AD=DC，则AD=13AC=13BC−13BA，得BD=BA+AD=13BC+23BA，
则BD2=13BC+23BA2⇒BD= 19×25+49×16+2×29×20×18= 11，
又由2AD=DC，可得S▵BDC=23S▵ABC=5 72，设点C到直线BD的距离为ℎ，
则12BD⋅ℎ=S▵BDC⇒ℎ=2S▵BDCBD=5 7711．

17.【详解】(1)因平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
AB⊂平面ABCD，则AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，则AB⊥PD；
(2)由(1)可得AB⊥平面PAD，过A做AD的垂线，设垂线交PD为E，
连接AE，则AB，AD，AE两两垂直.如图建立以A为原点的空间直角坐标系，
由题目数据可得：A0,0,0,B2,0,0,D0,2,0,P0,−1, 3．
设BM=λBD，其中λ∈0,1，则PM=PB+BM=PB+λBD，
又PB=2,1,− 3，BD=−2,2,0，则PM=2−2λ,1+2λ,− 3．
由题可得平面ABCD的法向量可取n=0,0,1，
则sinθ=csn,PM= 3 2−2λ2+2λ+12+3= 3 4λ2−4λ+8= 3 2λ−12+7，
则当λ=12时，2λ−12+7取最小值7，则sinθ= 3 2λ−12+7≤ 217．
即sinθ的最大值为 217．

18.【详解】(1)当x≠1时，由y=k1x−1，得到yx−1=k1，当x≠−1时，由y=k2x+1，得到yx+1=k2，
又k1+k2=2，得到yx−1+yx+1=2，整理得到x2−xy−1=0，
当x=±1时，y=0，满足x2−xy−1=0，所以点M的轨迹C的方程为x2−xy−1=0．
(2)(ⅰ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx+n，Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=mx+nx2−xy−1=0，消y得到1−mx2−nx−1=0，
则1−m≠0n2+41−m>0，且x1+x2=n1−m,x1x2=−11−m，
又y1y2=mx1+nmx2+n=m2x1x2+mnx1+x2+n2=−m21−m+mn21−m+n2，
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，则OA⊥OB，得到OA⋅OB=0，
所以x1x2+y1y2=0，即−m21−m+mn21−m+n2−11−m=0，整理得到n2=m2+1，
又原点到直线l的距离为d=n m2+1=n n2=1，此时直线l与圆x2+y2=1相切，
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=t，由x=tx2−xy−1=0,
得到y=t2−1t，只有一个交点，不合题意，
综上，直线l与圆x2+y2=1相切．
(ⅱ)因为AB= 1+k2x2−x1，由(ⅰ)可得AB= 1+m2× n2−4m+41−m，
又n2=m2+1，得到AB= 1+m2× m2−4m+51−m，
所以▵OAB面积为S=12ABd=12 1+m2× m2−4m+51−m×1=12 1+m2× m2−4m+51−m=12 m2+1m2−4m+5m−12，
令m−1=t，则m=t+1，所以S=12 t2+2t+2t2−2t+2t2=12 t2+4t2≥12 2 t2×4t2=1，
当且仅当t2=4t2，即m=2或m=0(舍)时取等号，
所以▵OAB面积的最小值为1．

19.【详解】(1)取任意x1,x2∈1,2，x10,x2−2x2−2>0，
得x2−x1⋅1x1−1x2−1+2x1−2x2−2>0⇒fx1>fx2，
则函数f2x=1x−1+2x−2在区间1,2上单调递减；
(2)由题f3x=1x−1+2x−2+3x−3，
其定义域为−∞,1∪1,2∪2,3∪3,+∞，
则f3x在−∞,1,1,2,2,3,3,+∞递减，
又注意到x→−∞,f3x→0,f3x0，
f31+0.001f2−0.001