2024-2025学年安徽省六安市叶集皖西当代中学高二上学期1月期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市叶集皖西当代中学高二上学期1月期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标系中，下列直线的倾斜角为钝角的是( )
A. x=−2B. y=2C. x2+y3=1D. 2x−y+1=0
2.平行于直线l:x+2y−3=0，且与l的距离为2 5的直线的方程为( )
A. x+2y+7=0B. x+2y−13=0或x+2y+7=0
C. x+2y+13=0D. x+2y+13=0或x+2y−7=0
3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为( )
A. 13B. 25C. 23D. 45
4.已知F1(−1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为( )
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )
A. 4.5尺B. 3.5尺C. 2.5尺D. 1.5尺
6.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN=13AC1，用a,b,c表示向量MN的结果是( )
A. 12a+b+cB. 15a+15b+45c
C. 15a−310b−15cD. 13a−23b−16c
7.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2anan+1，则下列结论正确的是( )
A. 数列{1an}是公差为12的等差数列B. 数列{1an}是公差为2的等差数列
C. 数列{1an−1}是公比为12的等比数列D. 数列{1an−1}是公比为2的等比数列
8.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|= 2，则PA⋅PD的最大值为( )
A. 1+ 22B. 1+2 22C. 1+ 2D. 2+ 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知C：x2+y2−6x=0，则下述正确的是( )
A. 圆C的半径r=3B. 点(1,2 2)在圆C的内部
C. 直线l：x+ 3y+3=0与圆C相切D. 圆C′：(x+1)2+y2=4与圆C相交
10.已知数列an是等比数列，则下列命题中正确的是( )
A. 数列an2是等比数列
B. 若a3=2，a7=32，则a5=±8
C. 若数列an的前n项和Sn=3n−1+r，则r=−1
D. 若a10)上一点P(m，2)到其焦点F的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求▵ OAB的面积．
17.(本小题12分)
已知数列an满足a1=3，nan+1=2n+1an−nn+1．
(1)证明数列ann−1是等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(1)求证：BF//平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E−BD−F的余弦值为13，求线段CF的长．
19.(本小题12分)
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
(i)证明：△PQG是直角三角形；
(ii)求△PQG面积的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.C
8.A
9.ACD
10.AD
11.AC
12.2
13.1−2n
14.12 6
15.解：(1)设数列an的公差为d，
∵a1=1，∴S3=1+1+d+1+2d=9，解得d=2，
∴an=a1+n−1d=1+2(n−1)=2n−1．
(2)bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴Tn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．

16.【详解】解：(1)由已知及抛物线定义可得2−(−p2)=4，∴p=4，∴抛物线C的方程为x2=8y．
(2)由(1)可得F(0,2)，∴l：y=x+2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将l方程代入C方程整理得y2−12y+4=0，∴y1+y2=12，∴|AB|=y1+y2+p=16，
原点O到直线l的距离为d=|2| 12+(−1)2= 2，
∴▵ OAB的面积S=12×|AB|×d=8 2．

17.【详解】(1)由nan+1=2n+1an−nn+1，两边同除以nn+1可得an+1n+1=2×ann−1，
化为an+1n+1−1=2×ann−2=2ann−1，又因为a11−1=3−1=2，
所以数列ann−1是以2为首项以2为公比的等比数列，
所以ann−1=2×2n−1=2n，则an=n×2n+n；
(2)Sn=1×21+2×22+⋅⋅⋅+n×2n+1+2+⋅⋅⋅+n
即Sn=1×21+2×22+⋅⋅⋅+n×2n+nn+12，
设M=1×21+2×22+⋅⋅⋅+n×2n①，
则2M=1×22+2×23+⋅⋅⋅+n−1×2n+n×2n+1②，
①减②得：−M=21+22+⋅⋅⋅+2n−n×2n+1=21−2n1−2−n×2n+1=1−n2n+1−2，
所以M=n−12n+1+2
所以Sn=n−1×2n+1+2+nn+12=n−1×2n+1+n2+n+42．

18.解：(1)依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，

可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．
设CF=ℎ(ℎ>0)，则F(1,2,ℎ)．
依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又BF=(0,2,ℎ)，可得BF⋅AB=0，
又因为直线BF⊄̸平面ADE，所以BF/​/平面ADE．
(2)依题意，BD=(−1,1,0)，BE=(−1,0,2)，CE=(−1,−2,2)．
设n=(x1,y1,z1)为平面BDE的法向量，
则n⋅BD=0,n⋅BE=0,即−x1+y1=0,−x1+2z1=0,不妨令z1=1，可得n=(2,2,1)．
因此有|cs|=|CE⋅n||CE||n|=49，
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49．
(3)设m=(x2,y2,z2)为平面BDF的法向量，
则m⋅BD=0,m⋅BF=0,即−x2+y2=0,2y2+ℎz2=0,
不妨令y2=1，可得m=(1,1,−2ℎ).
由题意，有|csm,n| ，解得ℎ=87．
经检验，符合题意．
所以线段CF的长为87．
19.解：(1)由题意得yx+2·yx−2=−12，
整理得曲线C的方程：x24+y22=1(y≠0)，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
(2)
(i)设P(x0,y0)，则Q(−x0,−y0)，
E(x0,0)，G(xG,yG)，
∴直线QE的方程为：y=y02x0(x−x0)，
与x24+y22=1联立消去y，
得(2x02+y02)x2−2x0y02x+x02y02−8x02=0，
∴−x0xG=x02y02−8x022x02+y02，
∴xG=(8−y02)x02x02+y02，
∴yG=y02x0(xG−x0)=y0(4−x02−y02)2x02+y02，
∴kPG=yG−y0xG−x0
=y0(4−x02−y02)2x02+y02−y0x0(8−y02)2x02+y02−x0
=4y0−y0x02−y03−2y0x02−y038x0−x0y02−2x03−x0y02
=y0(4−3x02−2y02)2x0(4−y02−x02)，
把x02+2y02=4代入上式，
得kPG=y0(4−3x02−4+x02)2x0(4−y02−4+2y02)=−y0×2x022x0y02=−x0y0，
∴kPQ·kPG=y0x0·(−x0y0)=−1，
∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；
(ii)S△PQG=12|PE|·(xG−xQ)
=12y0(xG+x0)
=12y0[(8−y02)x02x02+y02+x0]
=12y0x0×8−y02+2x02+y022x02+y02
=y0x0(4+x02)2x02+y02
=y0x0(x02+2y02+x02)2x02+y02
=2y0x0(x02+y02)2x02+y02
=8y0x0(x02+y02)(2x02+y02)(x02+2y02)
=8(y0x03+x0y03)2x04+2y04+5x02y02
=8(x0y0+y0x0)2(x0y0+y0x0)2+1
令t=x0y0+y0x0，则t≥2，
S△PQG=8t2t2+1=82t+1t
利用“对勾”函数f(t)=2t+1t在[2,+∞)的单调性可知，
f(t)≥4+12=92(t=2时取等号)，
∴S△PQG≤892=169(此时x0=y0=2 33)，
故△PQG面积的最大值为169．