安徽省六安市叶集皖西当代中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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数学
本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 与其共轭复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的计算公式及复数的几何意义即可判断.
【详解】设复数 ，则 ，
所以 ，即
所以 ，
所以
所以复数 在复平面上对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B.
2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现
金支付的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【答案】B
【解析】
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【详解】设事件 A 为不用现金支付，
则
故选：B.
3. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 3 D. 1 或 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理可得 ，即 ，
整理可得 ，解得 或 .
故选：D.
4. 已知 m，n 为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面，则下列条件能推出 的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ， ，
D. ， ， ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面垂直的性质可判断 A；根据平面与平面关系的判定可判断 BCD.
【详解】对 A，若 ， ，则 ，故 A 正确；
对 B，若 ， ，则 与 平行或相交，故 B 错误；
对 C，若 ， ， ，则 与 平行或相交，故 C 错误；
对 D，若 ， ， ， ，则 与 平行或相交，故 D 错误.
故选：A.
5. 若 为 的边 的中点，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用向量的加减法及数乘运算即可.
【详解】 2( 2 - .
故选:A.
【点睛】在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
6. 已知向量 与 的夹角为 120°，| |＝3，| ＋ |＝ ，则 等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将| ＋ |＝ 两边平方，得到关于 的一元二次方程，解方程即可.
【详解】∵向量 与 的夹角为 120°，| |＝3，| ＋ |＝ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ＝﹣1（舍去）或 ＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查向量的模的计算，考查计算能力，属于基础题.
7. 已知正四棱锥 的体积为 ，底面边长为 ，则以 为球心， 为半径的球的体积为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据棱锥的体积公式，结合正四棱锥的性质、勾股定理、球的体积公式进行求解即可.
【详解】设 在底面的射影为 ，则 为该正棱锥的高，
因为正四棱锥 的体积为 ，底面边长为 ，
所以有 ，
因为在该正四棱锥中，底面是正方形，
所以 ，
因此由勾股定理可得 ，
所以 为半径的球的体积为 ，
故选：D
8. 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，则（ ）
A.
B. 的外接圆半径为
C. 面积的最大值为
D. 的周长的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断 AB，利用余弦定理和基本不等式求出 和 的范
围判断 CD 即可.
【详解】选项 A，由 可得 ，
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又 是 的内角， ，
所以 ，由正弦定理得 ，
因为 中 ，所以 ，即 ，
所以 ，A 说法错误；
选项 B，设 的外接圆半径为 ，因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，解得 ，B 说法错误；
选项 C：由正弦定理可得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的面积 ，C 说法错误；
选项 D，由 C 知 ，
解得 ，当且仅当 时等号成立，
由三角形的性质知 ，
所以 ，D 说法正确；
故选：D
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于样本数据： ，下列结论中正确的是（ ）
A. 极差为 6 B. 众数为 7 C. 中位数为 8 D. 平均数为 8
【答案】AB
【解析】
【分析】分别求出平均数、众数、极差和中位数，即可判断.
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【详解】对于数据： ，
极差 ，故 A 正确；
众数为 7，故 B 正确；
中位数 ，故 C 错误.
平均数为 ，故 D 错误；
故选：AB.
10. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究
的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，
即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点 之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点
，测得 米， ， ，则（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
【答案】ABD
【解析】
【分析】 中，由等腰三角形的性质求 判断选项 B；在 和 中，正弦定理求 和
判断选项 AC；在 中，由余弦定理得 判断选项 D.
【详解】在 中， ， ，则 米，
B 选项正确．
在 中， ，又 ，则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
解得 米，A 选项正确；
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中同理可得 米，C 选项错误；
在 中，由余弦定理得
，
所以 米，D 选项正确．
故选：ABD
11. 已知圆锥 SO（O 是底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为 ，高为 ．若 P，Q 为底面圆周
上任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三角形 面积的最大值为
B. 三棱锥 体积的最大值
C. 四面体 外接球表面积的最小值为 11
D. 直线 SP 与平面 所成角的余弦值的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】选项 A，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，
当 时，三角形 面积最大，可判断选项 A；利用三棱锥等体积转换，可得当 面
时，三棱锥 体积最大，可判断选项 B；因为 底面圆，所以四面体 外接球球心在
的中垂面和过 外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判
断选项 C；由线面角公式可得，当 面 时，直线 SP 与平面 所成角的余弦值最小，判断出选项
D．
【详解】选项 A，由母线长为 ，高为 ，可得底面半径为 ，设 是底面圆的一条直径，
则 ，即 是钝角，又
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，则存在点 ，当
时， ，三角形 面积的最大值为 ，故 A 错误；
选项 B， ， 当 面 时，
，故 B 正确；
选项 C，设 的外接圆半径为 ， 底面圆， 四面体 外接球半径 满足
，若外接球表面积的最小，即外接球的半径 最小，又 ，即在底面圆中，
的外接圆半径最小，由正弦定理 ， 无最大值， 的外
接圆半径无最小值，即四面体 外接球表面积无最小值，故 C 错误；
选项 D，设点 到平面 的距离为 ，直线 SP 与平面 所成角 的正弦值为 ，则
当 面 时， ，此时直线 SP 与平面 所成角的余弦值最小，最小值为
，故 D 正确；
故选：BD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数 的虚部为______.
【答案】-1
【解析】
【分析】计算出模长，并利用复数除法法则得到 ，求出虚部.
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详解】 ，
故虚部为-1.
故答案为：-1
13. 若一组数据 的方差为 1，则数据 的标准差为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据方差的性质得到数据 的方差为 ，进而得到标准差.
【详解】数据 的方差为 ，
故数据 的标准差为 .
故答案为：2
14. 如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 .若
，则 的值是_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点 D 作 DF//CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD.
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，
得 即 故 .
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几
何法，利用数形结合和方程思想解题.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 与 共线，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得 ，进而可求 ；
（2）根据向量共线的坐标表示求得 .
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，解得 ，
则 ，所以 .
【小问 2 详解】
由题意可得： ，
因为 ∥ ，则 ，解得 .
16. 已知三棱柱 （如图所示），底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 底面 ABC，
，E 为 的中点．
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（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于 ，连接 ，证明 即可；
（2）取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，可得 平面 ，由
可求.
【详解】（1）连接 ，交 于 ，连接 ，
在 中， 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，
为等边三角形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
为中点， ， 平面 ，且 ，
则 .
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17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩并分成五组：第一
组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率
分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求图中 值；
（2）估计这 100 名候选者面试成绩的第 80 百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（3）从成绩在第四､五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取 5 人，再从这 5 人中选出两人，
求选出的两人成绩来自同一组的概率.
【答案】（1） ，
（2）第 80 百分位数为 77.5，平均数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为 1，即可求出 a，b；
（2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解；
（3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可.
【小问 1 详解】
因为第三､四､五组的频率之和为 0.7，
所以 ，解得 ，
所以前两组的频率之和为 ，即 ，解得 .
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【小问 2 详解】
前三组频率之和为 0.75，所以第 80 百分位数位于 组内，
且 ，即估计第 80 百分位数为 77.5；
估计平均数为 .
【小问 3 详解】
成绩在第四､五两组志愿者分别有 20 人、5 人，
按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为 4，分别设为 ，第五组志愿者人数为 1，设为 ，
这 5 人选出 2 人，所有情况有 ，共 10
种，
其中选出的两人来自同一组的有 ，共 6 种，
所以选出的两人来自同一组的概率为 .
18. 的内角 的对边分别为 ，其面积为 .
（1）求角 ；
（2）若 的角平分线交 于点 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用面积公式和余弦定理整理可得 ，即可得结果；
（2）根据题意利用面积公式可得 ，结合余弦定理运算求解.
【小问 1 详解】
由题意可得： ，整理可得 ，
且 ，所以 .
【小问 2 详解】
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由题意可得： ，且 ，
可知 ，可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，
解得 ，故 .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，所以 .
19. 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形， ， ．
（1）证明：平面 PAB⊥平面 ABCD；
（2）求二面角 P－AD－B 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作图，取 AB 的中点 E，连接 PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明；
（2）根据第 1 问的结果，过点 E 作 ，垂足为 F，则∠PFE 即为二面角 P—AD—B 的平面角.
【小问 1 详解】
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取 AB 的中点 E，连接 PE，DE，则 ，
由已知可得 ，∴ ，
平面 ABCD， 平面 ABCD，∵ ∴PE⊥平面 ABCD，
∵PE 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 ABCD；
【小问 2 详解】
过点 E 作 ，垂足为 F，连接 PF，则 AD⊥平面 PEF，
∴ ，∴∠PFE 即为二面角 P—AD—B 的平面角，
在 中，EF 是 AD 边上的高，运用等面积法得： ，
，∴ ，
∴二面角 P－AD－B 的余弦值为 ；
综上，二面角 P－AD－B 的余弦值为 .
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